CMR \(\sqrt{\left(a-b\right)^2+c^2}+\sqrt{\left(a+b\right)^2+c^2}\ge2\sqrt{a^2+c^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 10 2019
Áp dụng BĐT Mincopxki:
\(\sqrt{\left(a-b\right)^2+c^2}+\sqrt{\left(a+b\right)^2+c^2}\ge\sqrt{\left(2a\right)^2+\left(2c\right)^2}=2\sqrt{a^2+c^2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(b=0\)
KN
1 tháng 12 2019
Gọi A là vế trái của BĐT cần chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử a + b + c = 3. Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^3}{8ab\left(4a+4b+c\right)}}+\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^3}{8bc\left(4a+4b+c\right)}}+\frac{ab\left(4a+4b+c\right)}{27}\)\(\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)
Suy ra
\(\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^3}{8ab\left(4a+4b+c\right)}}\)\(+\frac{ab\left(4a+4b+c\right)}{54}\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)\)
Tương tự
\(\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^3}{8bc\left(4b+4c+a\right)}}+\frac{bc\left(4b+4c+a\right)}{54}\ge\frac{1}{4}\left(b+c\right)\)
và \(\sqrt{\frac{\left(c+a\right)^3}{8ca\left(4c+4a+b\right)}}+\frac{ca\left(4c+4a+b\right)}{54}\ge\frac{1}{4}\left(c+a\right)\)
Cộng ba BĐT trên ta có:
\(\frac{1}{2\sqrt{2}}A\ge B\)
Với \(A=\frac{1}{54}[ab\left(4a+4b+c\right)+bc\left(4b+4c+a\right)\)
\(+ca\left(4c+4a+b\right)]\)
\(=\frac{1}{54}\left[4ab\left(a+b\right)+4bc\left(b+c\right)+4ca\left(c+a\right)+3abc\right]\)
\(=\frac{1}{54}\left[4\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-9abc\right]\)
\(\le\frac{1}{54}\left(a+b+c\right)^3=\frac{1}{2}\)
và \(B=\frac{1}{4}.2\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)
Suy ra \(\frac{1}{2\sqrt{2}}A\ge\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\Rightarrow A\ge2\sqrt{2}\)
Vậy
\(\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^3}{ab\left(4a+4b+c\right)}}+\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^3}{bc\left(4a+4b+c\right)}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)^3}{ca\left(4c+4a+b\right)}}\ge2\sqrt{2}\)(đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 1 2018
Lời giải:
Đặt \(\left ( \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c},\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{a}, \frac{\sqrt{c^2+a^2}}{b} \right )=(x,y,z)\)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(x+y+z\geq 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)\((*)\)
------------------------------------------------------------------
Từ cách đặt $x,y,z$ ta có:
\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}=1\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\frac{x^2+1}{x^2}+\frac{y^2+1}{y^2}+\frac{z^2+1}{z^2}=\left(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\right)\left(\frac{x^2+1}{x^2}+\frac{y^2+1}{y^2}+\frac{z^2+1}{z^2}\right)\)
\(\geq \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow 3\geq 2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)\)
\(\Leftrightarrow xyz\geq \frac{2}{3}(x+y+z)\)
\(\Rightarrow xyz(x+y+z)\geq \frac{2}{3}(x+y+z)^2\)
Áp dụng BĐT AM_GM ta lại có:
\((x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\). Do đó:
\(xyz(x+y+z)\geq 2(xy+yz+xz)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\geq 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Đúng theo \((*)\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
20 tháng 1 2018
áp dụng bat dang thuc bunhiacóki
ta có \(\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}\ge\dfrac{a+b}{\sqrt{2}c}\)
ttu vt \(\ge\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\right)\)
=\(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+\dfrac{b}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\right)+\dfrac{c}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) (1)
áp dung bdt \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
ta có (1) \(\ge\dfrac{a}{\sqrt{2}}.\dfrac{4}{b+c}\)
tiếp tục áp dụng bunhia ta có \(\dfrac{a}{\sqrt{2}}.\dfrac{4}{b+c}\ge\dfrac{a}{\sqrt{2}}.\dfrac{4}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}=\dfrac{2a}{\sqrt{b^2+c^2}}\)
ttuong tu ta có \(vt\ge2\left(\dfrac{a}{\sqrt{b^2+c2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\left(dpcm\right)\)
HV
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 9 2021
Lời giải:
$a^2+2b^2+ab=\frac{a^2}{2}+\frac{3b^2}{2}+\frac{(a+b)^2}{2}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$[\frac{a^2}{2}+\frac{3b^2}{2}+\frac{(a+b)^2}{2}](2+6+8)\geq (a+3b+2a+2b)^2$
$\Rightarrow \sqrt{a^2+2b^2+ab}\geq \frac{3a+5b}{4}$
Hoàn toàn tương tự với các căn còn lại suy ra:
$\text{VT}\geq \frac{3a+5b}{4}+\frac{3b+5c}{4}+\frac{3c+5a}{4}=2(a+b+c)$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Áp dụng bất đẳng thức Mincopxki :
\(\sqrt{\left(a-b\right)^2+c^2}+\sqrt{\left(a+b\right)^2+c^2}\ge\sqrt{\left[\left(a-b\right)+\left(a+b\right)\right]^2+\left(c+c\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(2a\right)^2+\left(2c\right)^2}\)
\(=\sqrt{4a^2+4c^2}\)
\(=2\sqrt{a^2+c^2}\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a-b}{c}=\frac{a+b}{c}\Leftrightarrow a-b=a+b\Leftrightarrow-b=b\Leftrightarrow b=0\)
*) Chứng minh bđt Mincopxki cho 2 bộ số :
\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\ge\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+t^2+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}\ge\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+t^2+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}\ge x^2+y^2+z^2+t^2+2xz+2yt\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}\ge xz+yt\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)=\left(xz+yt\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2\ge x^2z^2+2xyzt+y^2t^2\)
\(\Leftrightarrow x^2t^2-2xyzt+y^2z^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xt-yz\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow xt=yz\Leftrightarrow\frac{x}{y}=\frac{z}{t}\)
Dòng đầu viết lỗi rồi, ai tốt bụng sửa hộ tớ :
\(...\ge\sqrt{\left[\left(a-b\right)+\left(a+b\right)\right]^2+\left(a+c\right)^2}\) nha :)