Cho tam giác ABC nhọn (AC>AB). Trên cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm D,E sao cho BD = CE. Gọi I là giao điểm của BE với CD. Gọi P,Q thứ tự là tâm nội tiếp của tam giác DIB,EIC. Phân giác trong của góc BAC cắt PQ tại K. Chứng minh rằng IP = QK.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 11 2019
Bổ đề 1: Xét tứ giác MNPQ là tứ giác lồi có MP giao NQ tại R. Gọi H,K lần lượt là trực tâm của tam giác MRN;PRQ. U và V lần lượt là trung điểm của NP và MQ. Khi đó UV vuông góc với HK.
Bổ đề 2: Xét tam giác ABC nội tiếp (O), L là điểm chính giữa cung BAC. Lấy X thuộc cạnh AB, Y thuộc cạnh AC sao cho BX = CY. Khi đó LX = LY.
Hai bổ đề trên rất quen thuộc, các bạn tự chứng minh.
Giải bài toán: Đặt M,N thứ tự là trung điểm của BD,CE. Ta có BM = CN (= BD/2 = CE/2)
Gọi K là trung điểm cung BAC. Theo Bổ đề 2 thì KM = KN (1)
Dễ thấy ID = IC; IB = IE; BD = CE. Suy ra \(\Delta\)BID = \(\Delta\)EIC (c.c.c)
Hai tam giác trên có trung tuyến tương ứng là IM,IN. Do đó IM = IN (2)
Để ý rằng I là trực tâm của \(\Delta\)BFC. Áp dụng Bổ đề 1 vào tứ giác BDEC ta được IH vuông góc MN (3)
Từ (1);(2) và (3) suy ra ba điểm I,H,K thẳng hàng. Đó là điều phải chứng minh.
Bổ đề 1: Xét tam giác nhọn ABC, trên cạnh AB,AC lần lượt lấy D,E sao cho BD = CE. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của DE,BC. Khi đó MN song song với đường phân giác trong của ^BAC.
Bổ đề 2: [Đường thẳng Gauss] Xét tứ giác lồi ABCD. AB giao CD tại X, AD giao BC tại Y. Gọi H,I,K thứ tự là trung điểm các đoạn AC,BD,XY. Khi đó H,I,K thẳng hàng.
Hai bổ đề trên khá quen thuộc, không trình bày ở đây.
Quay trở lại bài toán: Gọi V,J,L thứ tự là trung điểm của AI,DE,BC. Gọi JL cắt PQ tại R.
Dễ thấy V,J,L,R nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác AEID. Áp dụng bổ đề 1 ta thu được:
VR // AK. Mà V là trung điểm AI nên R là trung điểm IK (*)
Mặt khác ta thấy P,I,Q thẳng hàng, gọi PQ cắt (BID),(CIE) lần lượt tại S,T (S,T khác I), SB cắt TC tại F, Fx là phân giác ^BFC.
Ta có hai tam giác DIB,EIC có BD = CE, ^BID = ^EIC => (BID) = (EIC)
Theo tính chất của tâm nội tiếp thì SD = SP = SB, TE = TQ = TC. Từ đây SB = TC
Ta lại có biến đổi góc sau ^BFx = 1/2.^BFC = 900 - BDI/2 - ^CEI/2 = ^ADI/2 + ^AEI/2 - 900
= 1800 - ^DAE/2 - ^DIE/2 - 900 = ^EIT - ^DAE/2 = ^SBD - ^DAE/2 (= Góc hợp bởi AK và SB)
=> Fx // AK. Mà AK // RL nên Fx // RL. Áp dụng bổ đề 1 (với SB = TC) ta được R là trung điểm ST
Suy ra RS = RT => RP + SP = RQ + TQ => RP = RQ (Do SP = TQ) => R là trung điểm PQ (**)
Từ (*) và (**) suy ra KP = IQ. Như vậy KP + IK = IQ + IK => IP = QK (đpcm).