Cho p là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên k sao cho \(\sqrt{k^2-pk}\) là số nguyên dương. Giúp mik với
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
1
3 tháng 3 2015
nếu k=0 thì 13.k =13.0=0 là hợp số,loại
nếu k=1thì 13.k=13.1=13 ,chọn
nếu k lớn hơn hoặc bằng 2 thì 13.k có ước là 13 khác 1 và 13.k nên suy ra số đó là hợp số ,loại
vậy k=1
VN
0
DL
6 tháng 6 2018
Ta có: (3n- 4) + (5n – 3) = 8n– 7 là số lẻ, suy ra: trong hai số trên phải có một số chẵn và một số lẻ.
– Nếu 3n– 4 chẵn thì 3n– 4 = 2 ⇔ n = 2 ⇒ 4n– 5 = 3 và 5n– 3 = 7 đều là các số nguyên tố.
– Nếu 5n– 4 chẵn thì 5n– 3 = 2 ⇔ n = 1 ⇒3n – 4 = -1 (loại)
Vậy n= 2 là thỏa mãn.
E
1
22 tháng 2 2019
Với n nguyên dương.
Đặt A=\(n^{2015}+n+1=\left(n^{2015}-n^2\right)+\left(n^2+n+1\right)=n^2\left(n^{2013}-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(=n^2\left(\left(n^3\right)^{.671}-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
Mà : \(\left(n^3\right)^{.671}-1⋮\left(n^3-1\right)\)
và \(n^3-1=\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\)
=> \(\left(n^3\right)^{671}-1⋮\left(n^2+n+1\right)\)
=> \(A⋮n^2+n+1\)
Theo bài ra: A là số nguyên tố
=> \(\orbr{\begin{cases}A=n^2+n+1\\n^2+n+1=1\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n^{2015}=n^2\\n^2+n=0\end{cases}\Leftrightarrow}}\orbr{\begin{cases}n=1\left(tm\right)\\n=0;n=-1\left(loai\right)\end{cases}}\)vì n nguyên dương
Vậy n=1
TT
28 tháng 2 2020
a) Giả sử \(x+y\) là số nguyên tố
Ta có : \(x^3-y^3⋮x+y\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)⋮x+y\)
\(\Rightarrow x^2+xy+y^2⋮x+y\) ( Do \(x-y< x+y,\left(x-y,x+y\right)=1\) vì \(x+y\) là số nguyên tố )
\(\Rightarrow x^2⋮x+y\) ( Do \(xy+y^2=y\left(x+y\right)⋮x+y\) )
\(\Rightarrow x⋮x+y\) (1)
Mặt khác \(x< x+y,x+y\) là số nguyên tố
\(\Rightarrow x⋮̸x+y\) mâu thuẫn với (1)
Do đó, điều giả sử sai.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
ĐK \(k\left(k-p\right)\ge0\)
Để \(\sqrt{k^2-pk}\)là số nguyên
=> \(k\left(k-p\right)\)là số chính phương
Gọi UCLN của k và k-p là d
=> \(\hept{\begin{cases}k⋮d\\k-p⋮d\end{cases}}\)
=> \(p⋮d\)
Mà p là số nguyên tố
=> \(\orbr{\begin{cases}p=d\\d=1\end{cases}}\)
+ \(p=d\)=> \(k⋮p\)=> \(k=xp\left(x\in Z\right)\)
=> \(xp\left(xp-p\right)=p^2x\left(x-1\right)\)là số chính phương
=> \(x\left(x-1\right)\)là số chính phương
Mà \(x\left(x-1\right)\)là tích của 2 số nguyên liên tiếp
=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}k=0\\k=p\end{cases}}\)
+\(d=1\)
=>\(\hept{\begin{cases}k=a^2\\k-p=b^2\end{cases}\left(a>b\right)}\)
=> \(p=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
=> \(\hept{\begin{cases}a+b=p\\a-b=1\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}a=\frac{p+1}{2}\\b=\frac{p-1}{2}\end{cases}}\)
=> \(k=\frac{\left(p+1\right)^2}{4}\)với p lẻ
Vậy \(k=0\)hoặc k=p hoặc \(k=\frac{\left(p+1\right)^2}{4}\forall plẻ\)
\(\sqrt{k^2-pk}\) là số nguyên dương => \(k^2-pk>0\Rightarrow k>p\)
Khang chú ý là sẽ không xảy ra k=0 hoặc k=p nhé!