Question

[Cao Thiện Nhân]

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho biểu thức sau đây là số chính phương: S= \(2^n+1\)

Answer 1

[Nguyệt]

Để S là số chính phương

\(\Rightarrow2^n+1=k^2\Rightarrow2^n=k^2-1=\left(k-1\right).\left(k+1\right)\)

\(\text{Vì }2^n\text{ chẵn }\Rightarrow\left(k-1\right).\left(k+1\right)\text{ chẵn }\)=> k-1 và k+1 là 2 số chẵn liên tiếp. 

Dễ thấy 2ⁿ =2.2..2 ( n chữ số 2)

Mà k-1 và k+1 là tích của 2 số chẵn liên tiếp (hơn kém nhau 2 đơn vị) => k-1=2 và k+1=4 <=> k=3

=> 2ⁿ+1=3²=9 => 2ⁿ=8 <=> n=3

Vậy n=3

Answer 2

[:>]

sửa dòng 2:=>  Đặt 2ⁿ+1=k²