Question

[Army]

: Tìm cặp giá trị (x;y) thỏa mãn \(\hept{\begin{cases}x^4+2y^3-x=-\frac{1}{4}+3\sqrt{3}\\y^4+2x^3-y=-\frac{1}{4}-3\sqrt{3}\end{cases}.}\)

Answer 1

[Đào Thu Hoà]

Nhận xét : Nếu cộng các đẳng thức, ta nhận được:

\(\left(x^4+2x^3-x+\frac{1}{4}\right)+\left(y^4+2y^3-y+\frac{1}{4}\right)=0.\)

Với việc chọn đa thức \(P\left(x\right)=\left(x-a\right)^2\left(x-b\right)^2,\)sau khi khai triển và đồng nhất hệ số với đa thức \(Q\left(x\right)=x^4+2x^3-x+\frac{1}{4}\)ta được: \(a=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\)và \(b=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}.\)

Lời giải:  Xét đa thức: \(P\left(x\right)=\left(x-\frac{-1+\sqrt{3}}{2}\right)^2\left(x-\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\right)^2,\)

Thấy rằng với mọi \(x\in R\)thì \(P\left(x\right)\)luôn không âm. Suy ra

\(0\le P\left(x\right)+P\left(y\right)=\left(x+2x^3-x+\frac{1}{4}\right)+\left(y^4+2y^3-y+\frac{1}{4}\right)\)

                                       \(=\left(x^4+2y^3-x\right)+\left(y^4+2x^3-y\right)+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\)

                                       \(=-\frac{1}{4}+3\sqrt{3}+\left(-\frac{1}{4}-3\sqrt{3}\right)+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\)

                                       \(=0\)

Vì \(P\left(x\right);P\left(y\right)\)đều không âm nên dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(P\left(x\right)=P\left(y\right)=0\).

Do đó: \(x,y\in\left\{\frac{-1+\sqrt{3}}{2};\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\right\}.\)Thay vào phương trình và dùng phép thử trực tiếp, ta thu nhận được:

\(x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2},y=\frac{-1+\sqrt{3}}{2}.\)