Question

[Trần Đại Nghĩa]

Tìm giá trị nhỏ nhất của \(k,\)biết:

\(\left(k+1\right)+\left(k+2\right)+...+\left(k+19\right)=A^2;\)

\(k,A\inℕ^∗\)

Answer 1

[Phùng Minh Quân]

pt \(\Leftrightarrow\)\(19k+190=A^2\)\(\Leftrightarrow\)\(k=\frac{A^2-190}{19}\)

Để k nhỏ nhất và \(k\inℕ^∗\) thì \(\frac{A^2-190}{19}=\frac{A^2}{19}-19\) nhỏ nhất và \(A^2>190\)\(\Leftrightarrow\)\(A\ge14\); \(A^2⋮19\)

Mà 19 là số nguyên tố nên để \(\frac{A^2-190}{19}\) nhỏ nhất và \(A^2⋮19\) thì \(A=19\left(tm:A\ge14\right)\)

\(\Rightarrow\)\(k=\frac{A^2-190}{19}=\frac{19^2-190}{19}=9\)