Cho A=2xyz-xy-yz-zx+1
Chứng minh A>0 vs mọi x,y,z lớn hơn 1
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=xy+yz+zx-2xyz=\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)-2xyz\)
\(P=xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+xyz\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
Do vai trò của x;y;z là như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(z=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow z\le\dfrac{1}{3}\)
\(P=xy\left(1-2z\right)+z\left(x+y\right)=xy\left(1-2z\right)+z\left(1-z\right)\)
\(P\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\left(1-2z\right)+z\left(1-z\right)=\dfrac{\left(1-z\right)^2\left(1-2z\right)}{4}+z\left(1-z\right)\)
\(P\le\dfrac{1+z^2-2z^3}{4}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{z.z.\left(1-2z\right)}{4}\le\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{27.4}\left(z+z+1-2z\right)^3=\dfrac{7}{27}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
a. Ta có : x - y = 0 \(\Rightarrow\)x = y
Ta có : xy = xx ( vì x = y) = x^2
Mà x^2 \(\ge\)0 với mọi x nên xy \(\ge\)0 với mọi x.
a) Ta có x-y=0 => x=y
Ta có xy=x.x=x2 > 0 (dấu = <=> x=y=0)
b) x-y+z=0 => x=y-z.Theo kết quả câu a ta có: x(y-z) > 0 => xy-xz > 0 (1)
Tương tự: x-y+z=0 => y=x+z => y(x+z) > 0 => xy+yz > 0 (2)
x-y+z=0 => z=y-x => z(y-x) > 0 => zy-zx > 0 (3)
Cộng từng vế của bất đẳng thức (1),(2),(3) ta đc 2(xy+yz-zx) > 0
Do đó xy+yz-zx > 0 (dấu = <=> x=y=z=0)
Good luck
\(A=\sqrt{\frac{x}{2y^2z^2+xyz}}+\sqrt{\frac{y}{2x^2z^2+xyz}}+\sqrt{\frac{z}{2x^2y^2+xyz}}\)
\(A=\sqrt{\frac{x^2}{2xyz.yz+xz.xy}}+\sqrt{\frac{y^2}{2xyz.xz+xy.yz}}+\sqrt{\frac{z^2}{2xyz.xy+xz.yz}}\)
\(A=\sqrt{\frac{x^2}{yz\left(xy+yz+xz\right)+xz.xy}}+\sqrt{\frac{y^2}{xz\left(xy+yz+xz\right)+xy.yz}}+\sqrt{\frac{z^2}{xy\left(xy+yz+xz\right)+xz.yz}}\)
\(A=\sqrt{\frac{x^2}{\left(yz+xy\right)\left(yz+xz\right)}}+\sqrt{\frac{y^2}{\left(xz+xy\right)\left(xz+yz\right)}}+\sqrt{\frac{z^2}{\left(xy+yz\right)\left(xy+xz\right)}}\)
Áp dụng bđt \(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\) ta có:
\(2A\le\frac{x}{yz+xy}+\frac{x}{yz+xz}+\frac{y}{xz+xy}+\frac{y}{xz+yz}+\frac{z}{xy+yz}+\frac{z}{xy+xz}\)
\(=\frac{x+z}{yz+xy}+\frac{x+y}{yz+xz}+\frac{y+z}{xz+xy}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Mà: \(xy+yz+xz=2xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)
\(\Rightarrow2A\le2\Rightarrow A\le1."="\Leftrightarrow a=b=c=\frac{3}{2}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$1=xy+yz+xz+2xyz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}+2.\frac{(x+y+z)^3}{27}$
$\Leftrightarrow 1\leq \frac{t^2}{3}+\frac{2t^3}{27}$ (đặt $x+y+z=t$)
$\Leftrightarrow 2t^3+9t^2-27\geq 0$
$\Leftrightarrow (t+3)^2(2t-3)\geq 0$
$\Leftrightarrow 2t-3\geq 0$
$\Leftrightarrow t\geq \frac{3}{2}$ hay $x+y+z\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$
A= 2xyz - xy - yz - zx +1
= z(xy-1) - (xy-1) + zy(x-1) - z(x-1)
= (z-1)(xy-1) + z(x-1)(y-1)
Do x,y,z >1 nên A>0 suy ra đpcm
nguồn:Cho A= 2xyz - xy - yz - zx +1. Chứng minh A>0 với mọi x>1, y>1, z>1.
A= 2xyz - xy - yz - zx +1
= z(xy-1) - (xy-1) + zy(x-1) - z(x-1)
= (z-1)(xy-1) + z(x-1)(y-1)
Do x,y,z >1 nên A>0 suy ra đpcm