cho các số a,b,c thoả mãn a+2b+2c=6
Tìm max của biểu thức A=ab+ac+2bc
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
BT
20 tháng 3 2018
\(P=\frac{a^3b^2c^2}{ab+a^2bc+abc}+\frac{ab^2c}{bc+b+abc}+\frac{abc^2}{ac+c+1}\)
\(=\frac{ }{ab\left(1+ac+c\right)}+\frac{ }{b\left(c+1+ac\right)}+\frac{ }{ac+c+1}\)
S
1
LD
11 tháng 5 2019
Vì \(a+2b+2c=6\)
\(\Rightarrow2\left(b+c\right)=6-a\Leftrightarrow b+c=\frac{6-a}{2}\)
Thay vào A:
\(A=ab+ac+2bc=a\left(b+c\right)+2bc\)
\(\le a\left(b+c\right)+\frac{\left(b+c\right)^2}{2}=\frac{a\left(6-a\right)}{2}+\frac{\left(\frac{6-a}{2}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{-3a^2+12a+36}{8}=\frac{-3\left(a^2-4a+4\right)+48}{8}=\frac{-3\left(a-2\right)^2}{8}+6\le6\)
Vậy GTLN của A = 6 khi a = 2; b = c = 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 4 2022
\(A=\sqrt{2b\left(a+1\right)}+\sqrt{2c\left(b+1\right)}+\sqrt{2a\left(c+1\right)}\)
\(A=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4b\left(a+1\right)}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4c\left(b+1\right)}+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{4a\left(c+1\right)}\)
\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4b+a+1\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4c+b+1\right)+\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(4a+c+1\right)\)
\(A\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left[5\left(a+b+c\right)+3\right]=2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
NB
0
J
0
YN
8 tháng 2 2023
Theo đề ra, ta có:
\(a^2+b^2+c^2\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)
Theo BĐT Cô-si:
\(\left\{{}\begin{matrix}a^3+ab^2\ge2a^2b\\b^3+bc^2\ge2b^2c\\c^3+ca^2\ge2c^2a\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
Do vậy \(M\ge14\left(a^2+b^2+c^2\right)+\dfrac{3\left(ab+bc+ac\right)}{a^2+b^2+c^2}\)
Ta đặt \(a^2+b^2+c^2=k\)
Luôn có \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2=1\)
Vì thế nên \(k\ge\dfrac{1}{3}\)
Khi đấy:
\(M\ge14k+\dfrac{3\left(1-k\right)}{2k}=\dfrac{k}{2}+\dfrac{27k}{2}+\dfrac{3}{2k}-\dfrac{3}{2}\ge\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}+2\sqrt{\dfrac{27k}{2}.\dfrac{3}{2k}}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{23}{3}\)
\(\Rightarrow Min_M=\dfrac{23}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\).
bạn đã biết cách giải chưa, có thể chỉ cho mình với được không ạ?