(BMO 2011)Cho a, b,c là 3 cạnh của 1 tam giác thỏa mãn ab+bc+ca= 1. CMR:(a+ 1)(b+ 1)(c+ 1) < 4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
G
0
24 tháng 6 2019
Ta có: \(\frac{ab+c}{c+1}=\frac{ab+1-a-b}{c+a+b+c}=\frac{-b\left(1-a\right)+\left(1-a\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}=\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{b+c}\right)=\frac{a+b+2c}{4}\)
Tương tự: \(\frac{bc+a}{a+1}=\frac{b+c+2a}{4}\)
\(\frac{ca+b}{b+1}=\frac{c+a+2b}{4}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(\frac{ab+c}{c+1}+\frac{bc+a}{a+1}+\frac{ca+b}{b+1}\le\frac{4a+4b+4c}{4}=a+b+c=1\)
24 tháng 6 2019
Thiếu:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\frac{1}{a+b}=\frac{1}{a+c};\frac{1}{a+c}=\frac{1}{b+c};\frac{1}{b+c}=\frac{1}{b+a};a+b+c=1\)
<=> a=b=c=1/3
TD
1
T
14 tháng 3 2019
Ta có BĐT \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\) (tự c/m)
Áp dụng vào,ta có: \(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}\le\frac{ab}{4\left(c+a\right)}+\frac{ab}{4\left(c+b\right)}\) (Làm tắt,ráng hiểu)
Chứng minh tương tự và cộng theo vế:
\(VT\le\frac{a}{4}+\frac{b}{4}+\frac{c}{4}=\frac{a+b+c}{4}=\frac{1}{4}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
18 tháng 3 2019
Ta sẽ chứng minh c là cạnh nhỏ nhất.
Thật vậy,giả sử c không phải là cạnh nhỏ nhất.
Giả sử \(c\ge a\Rightarrow c+c\ge a+c>b\Rightarrow2c>b\Leftrightarrow4c^2>b^2\)
Do \(c\ge a\) nên \(4c^2+c^2=5c^2\ge a^2+b^2\) (trái với gt)
Với \(c\ge b\) chứng minh tương tự của dẫn đến vô lí.
Do đó c là cạnh nhỏ nhất.Khi đó:
\(a+b+c>3c\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o>3.\widehat{C}\Leftrightarrow\widehat{C}< 60^o\) (đpcm)
Không chắc nha!Sai đừng trách.
TM
18 tháng 3 2019
Giả sử \(c\ge a>0\)\(\Rightarrow c^2\ge a^2\)mà \(a^2+b^2>5c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2>5a^2\Rightarrow b^2>4a^2\Rightarrow b>2a\) (1)
Vì \(c^2\ge a^2\Rightarrow c^2+b^2\ge a^2+b^2>5c^2\Rightarrow b^2>4c^2\Rightarrow b>2c\)(2)
Từ (1) và (2) => 2b>2a+2c => b> a + c (vô lý) => c<a
Tương tự ta được c<b => c là độ dài cạnh nhỏ nhất
=> \(\widehat{C}\)là góc nhỏ nhất \(\Rightarrow\widehat{C}< \widehat{A}\)và \(\widehat{C}< \widehat{B}\)
=> \(3\widehat{C}< \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\Rightarrow\widehat{C}< 60^o\)
Vậy \(\widehat{C}< 60^o\)(đpcm)
TX
2
31 tháng 1 2017
ab+bc+ca \(\le\) a^2+b^2+c^2
<=> a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \(\ge\) 0
<=> 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \(\ge\) 0
<=> (a^2+b^2-2ab) + (b^2+c^2-2bc) + (c^2+a^2-2ca) \(\ge\)0
<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \(\ge\)0, luôn đúng
a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca)
<=> a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca < 0
<=> (a^2+b^2-2ab) + (b^2+c^2-2bc) + (c^2+a^2-2ca) - a^2 - b^2 - c^2 < 0
<=> (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 - a^2 - b^2 - c^2 < 0, luôn đúng
Ta co đpcm
HP
31 tháng 1 2017
a,b,c > 0
Áp dụng bđt AM-GM : a2+b2 \(\ge\) 2ab , b2+c2 \(\ge\) 2bc , c2+a2 \(\ge\) 2ca
Cộng theo vế : 2(a2+b2+c2) \(\ge\) 2(ab+bc+ac) => a2+b2+c2 \(\ge\) ab+bc+ca
theo bđt tam giác : a+b > c =>c(a+b) > c2 =>ac+bc > c2
b+c>a => ab+ac > a2,a+c > b=>ab+bc > b2
Cộng theo vế : 2(ab+bc+ac) > a2+b2+c2
V
0