1) Tính S=\(1.C^0_n+2.C^1_n+3.C^2_n+...+\left(n+1\right)C^n_n\)
2) CM: \(C^k_{2022}+C^{k+1}_{2022}\le C^{1012}_{2023}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 2 2020
Xét khai triển:
\(\left(3-x\right)^n=C_n^0.3^n+C_n^1.3^{n-1}.\left(-x\right)^1+...+C_n^n\left(-x\right)^n\)
Thế \(x=1\) vào ta được:
\(2^n=3^nC_n^0-3^{n-1}C_n^1+...+\left(-1\right)^nC_n^n\)
\(\Rightarrow2^n=2048=2^{11}\Rightarrow n=11\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 2 2020
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1-u_1q^2+u_1q^4=65\\u_1+u_1q^6=325\end{matrix}\right.\)
Chia vế cho vế ta được:
\(\frac{q^6+1}{q^4-q^2+1}=5\Leftrightarrow\frac{\left(q^2+1\right)\left(q^4-q^2+1\right)}{q^4-q^2+1}=5\)
\(\Leftrightarrow q^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}q=2\\q=-2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow u_1=\frac{325}{q^6+1}=5\)
2
21 tháng 12 2022
`2^n C_n ^0+2^[n-1] C_n ^1+2^[n-2] +... +C_n ^n=59049`
`<=>(2+1)^n=59049`
`<=>3^n=59049`
`<=>n=10 =>(2x^2+1/[x^3])^10`
Xét số hạng thứ `k+1:`
`C_10 ^k (2x^2)^[10-k] (1/[x^3])^k ,0 <= k <= 10`
`=C_10 ^k 2^[10-k] x^[20-5k]`
Số hạng chứa `x_5` xảy ra `<=>20-5k=5<=>k=3`
Với `k=3` thì số hạng cần tìm là: `C_10 ^3 2^[10-3] x^5=15360 x^5`
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 2 2023
\(S=3C_0^n+\left(4+3\right)C_n^1+\left(4.2+3\right)C_n^2+...+\left(4n+3\right)C_n^n=S_1+S_2\)
Với \(S_1=3\left(C_n^0+C_n^1+...+C_n^n\right)\)
Dễ dàng thấy \(S_1=3.2^n\)
\(S_2=4.C_n^1+4.2C_n^2+...+4.n.C_n^n=4\left(1C_n^1+2C_n^2+...+nC_n^n\right)\)
Nhận thấy tất cả các số hạng \(S_2\) đều có dạng \(k.C_n^k\)
Ta có: \(k.C_n^k=k.\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!}=\dfrac{n!}{\left(k-1\right)!\left(n-k\right)!}=n.\dfrac{\left(n-1\right)!}{\left(k-1\right)!.\left[\left(n-1\right)-\left(k-1\right)\right]!}=n.C_{n-1}^{k-1}\)
Nên:
\(S_2=4\left(nC_{n-1}^0+nC_{n-1}^1+...+nC_{n-1}^{n-1}\right)=4n.2^{n-1}=2n.2^n\)
Vậy \(S=S_1+S_2=\left(2n+3\right).2^n\)
JP
1
28 tháng 4 2023
\(\left(x+2\right)^n=C^0_n\cdot x^n+C^1_n\cdot x^{n-1}\cdot2+...+C^n_n\cdot2^n\)(1)
Tổng các hệ số trong khai triển (1) là;
(1+2)^n=3^n
=>3^n=243
=>n=5
26 tháng 9 2020
Phạm Dương Ngọc Nhi thế thì bạn học pp này đi. Cái pp này giúp cm nhiều bài một cách dễ dàng
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 11 2018
Lời giải:
Theo khai triển New-ton:
Xét \((x+1)^{2n}=C^0_{2n}+C^1_{2n}x+...+C^n_{2n}x^n+...+C^{2n}_{2n}x^{2n}\)
Như vậy, \(C^n_{2n}\) là hệ số của $x^n$ trong khai triển \((x+1)^{2n}\)
Mặt khác:
\((x+1)^{2n}=(x+1)^n.(x+1)^n=(\sum_{n}^{i=0}C^k_nx^{n-k})(\sum_{n}^{i=0}C^{k}_nx^k)\)
\(=(C^0_nx^n+C^1_nx^{n-1}+C^2_nx^{n-2}+...+C^n_n)(C^0_n+C^1_nx+C^2_nx^2+...+C^n_nx^n)\)
Hệ số của $x^n$ trong khai triển này là:
\((C^0_n)^2+(C^1_n)^2+....+(C^n_n)^2\)
Do đó \((C^0_n)^2+(C^1_n)^2+....+(C^n_n)^2=C^n_{2n}\) (đpcm)
MA
1
KB
29 tháng 3 2022
Với k \(\in\)N* ; ta có : \(kC_n^k=k.\dfrac{n!}{\left(n-k\right)!k!}=\dfrac{n!}{\left(n-k\right)!\left(k-1\right)!}=\dfrac{n\left(n-1\right)!}{\left[n-1-\left(k-1\right)\right]!\left(k-1\right)!}=nC_{n-1}^{k-1}\)
Khi đó : \(C_n^1+2C_n^2+...+nC^n_n\) = \(\Sigma^n_{k=1}nC^{k-1}_{n-1}\)
= \(n\left(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\right)\) \(=n.\left(1+1\right)^{n-1}=n.2^{n-1}\) ( đpcm )
MA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 3 2022
Ta có:
\(k.C_n^k=k.\dfrac{n!}{\left(n-k\right)!.k!}=n.\dfrac{\left(n-1\right)!}{\left(n-1-\left(k-1\right)\right)!\left(k-1\right)!}=n.C_{n-1}^{k-1}\)
Do đó:
\(1C_n^1+2C_n^2+...+nC_n^n\)
\(=n.C_{n-1}^0+nC_{n-1}^1+...+n\left(C_{n-1}^{n-1}\right)\)
\(=n\left(C_{n-1}^0+C_{n-1}^1+...+C_{n-1}^{n-1}\right)\)
\(=n.2^{n-1}\)
Tính giá trị các biểu thức sau: a: S1 = 2n C0n + 2n-2 C2n + 2n-4 C4n + + Cnn b: S2 = 2n-1 C1n + 2n-3 C3n + 2n-5 C5n + +Cnn c: S3 = C610 C710 + C810 + ..
^HT^
Bạn có biết, thế nào là nồng độ phần trăm (C%) và nồng độ mol (CM) của dung dịch? Công thức tính nồng độ phần trăm và nồng độ mol của dung dịch là như thế nào? Trong bài viết hôm nay, chúng ta cùng tìm hiểu khái niệm cũng như công thức của các loại nồng độ này nhé!
Tóm tắt nội dung
Công thức tính nồng độ phần trăm (C%) và nồng độ mol (CM) của dung dịch
Nồng độ phần trăm và nồng độ mol là gì?
nong-do-phan-tram-nong-do-mol-la-gi
I. Công thức tính nồng độ phần trăm (C%) của dung dịch
1. Khái niệm nồng độ phần trăm
Nồng độ phần trăm (C%) của dung dịch là đại lượng cho ta biết số gam chất tan có trong 100 gam dung dịch.
2. Công thức tính nồng độ phần trăm
C% = mct/mdd x 100%
Trong đó:
3. Ví dụ cách tính nồng độ phần trăm (C%) của dung dịch
– Ví dụ 1: Hòa tan 30 gam muối ăn NaCl và 90 gam nước. Tính nồng độ phần trăm của dung dịch trên.
⇒ Khối lượng của dung dịch NaCl:
mdd = 30 + 90 = 120 (gam)
⇒ Nồng độ phần trăm của dung dịch NaCl:
C% = (30/120) x 100% = 25%.
– Ví dụ 2: Cho dung dịch H2SO4 có nồng độ 28%. Tính khối lượng H2SO4 có trong 300 gam dung dịch.
⇒ Khối lượng của H2SO4 có trong 300 gam dung dịch:
m = (28 x 300)/100 = 84 (gam)
Công thức tính nồng độ phần trăm và công thức tính nồng độ mol
cong-thuc-tinh-nong-do-phan-tram-va-nong-do-mol-dung-dich
II. Công thức tính nồng độ mol (CM) của dung dịch
1. Khái niệm nồng độ mol
Nồng độ mol (CM) của dung dịch là đại lượng cho ta biết số mol chất tan có trong 1 lít dung dịch.
2. Công thức tính nồng độ mol
CM = n/V (đơn vị: mol/l)
Trong đó:
3. Ví dụ cách tính nồng độ mol (CM) của dung dịch
– Ví dụ 1: Trong 250 ml dd có hòa tan 16 g CuSO4. Tính nồng độ mol của dung dịch trên.
⇒ Số mol CuSO4 trong dung dịch là:
nCuSO4 = 16/160 = 0,1 (mol)
⇒ Nồng độ mol của dung dịch CuSO4 là:
CM = 0,1/0,25 = 0,4 (mol/l)
– Ví dụ 2: Trộn 1 lít dd đường 2M với 3 lít dung dịch đường 0,5M. Tính nồng độ mol của dd đường sau khi trộn vào nhau.
Ta có:
⇒ Nồng độ mol của dung dịch đường sau khi trộn vào nhau:
CM = (2 + 1,5) / 4 = 0,875 (M)
Bài tập tính nồng độ phần trăm (C%) và nồng độ mol (CM) của dung dịch
Câu 1. Chọn câu trả lời đúng: Bằng cách nào ta có được 200 g dung dịch BaCl2 5%?
⇒ Đáp án: B
Câu 2. Tính nồng độ mol (CM) của 850 ml dd có hòa tan 20 g KNO3. Chọn kết quả đúng:
⇒ Đáp án: A
– Hướng dẫn giải:
Ta có:
Câu 3. Tính nồng độ mol (CM) của các dung dịch sau:
a) 1 mol KCl trong 750 ml dung dịch.
⇒ CM = 1/0,75 = 1,33 (M)
b) 0,5 mol MgCl2 trong 1,5 lít dung dịch
⇒ CM = 0,5/1,5 = 0,333 (M)
c) 400 g CuSO4 trong 4 lí dung dịch
– Ta có, số mol CuSO4 là: nCuSO4 = 400/160 = 2,5 (mol)
⇒ CM = 2,5/4 = 0,625 (M)
d) 0,06 mol Na2CO3 trong 1500 ml dung dịch
⇒ CM = 0,06/1,5 = 0,04 (M)
Câu 4. Tính số mol và số gam chất tan của các dung dịch sau:
a) 1 lít dd NaCl 0,5 M
b) 500 ml dd KNO3 2 M
c) 250 ml dd CaCl2 0,1 M
d) 2 lít dd Na2SO4 0,3 M
Câu 5. Tính nồng độ phần trăm (C%) của các dung dịch sau:
a) 20 g KCl trong 600 g dung dịch
⇒ C% = (20/600) x 100% = 3,33%
b) 32 g NaNO3 trong 2 kg dung dịch
⇒ C% = (32/2000) x 100% = 1,6%
c) 75 g K2SO4 trong 1500 g dung dịch
⇒ C% = (75/1500) x 100% = 5%
Câu 6. Tính số gam chất tan cần dùng để pha chế các dung dịch sau:
a) 2,5 lít dung dịch NaCl 0,9 M
b) 50 g dd MgCl2 4%
c) 250 ml dung dịch MgSO4 0,1 M
Câu 7. Ở 25 °C, độ tan của NaCl là 36 g, của đường là 204 g. Tính nồng độ phần trăm (C%) của các dd bão hòa NaCl và đường ở dung dịch trên.
Giải:
Ta có, độ tan (S) của một chất trong nước là số gam chất đó hòa tan trong 100 gam nước để tạo thành dung dịch bão hòa ở một nhiệt độ xác định.
Như vậy, nồng độ phần trăm của các dd bão hòa NaCl và đường là:
C% NaCl = [36/(36+100)] x 100% = 26,47%
C% đường = [204/(204+100)] x 100% = 67,11%
^HT^