Cho 2 số dương x, y thỏa mãn : x + 2y = 3
CMR : \(\frac{1}{x}\)+ \(\frac{2}{y}\)\(\ge\)3
help me
#mã mã#
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 5 2018
Ta có: \(\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2yx}+\frac{z^4}{zx+2zy}\)
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz, ta có:
\(=\frac{x^4}{xy+2xz}+\frac{y^4}{yz+2yx}+\frac{z^4}{zx+2zy}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{1}{3}\)
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
13 tháng 5 2020
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dương, ta có:
\(\frac{9x^3}{y+2z}+x\left(y+2z\right)\ge6x^2;\frac{9y^3}{z+2x}+y\left(z+2x\right)\ge6y^2;\frac{9z^3}{x+2y}+z\left(x+2y\right)\ge6z^3\)
Lại có \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
Do đó \(\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}+3\left(xy+yz+zx\right)\ge6\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{9x^3}{y+2z}+\frac{9y^3}{z+2x}+\frac{9z^3}{x+2y}\ge6\left(x^2+y^2+z^2\right)-3\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
PD
4
CT
10 tháng 3 2020
c1: phân tích từng cái
c2, nhân x cho (1) y cho 2
sau đs dùng bunhia
từ x+y=1
=> x^2-xy+y^2...
QJ
2
PN
19 tháng 7 2016
Đặt \(A=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\)
\(\Rightarrow\) \(3A=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\left(x+2y\right)\) (do \(x+2y=3\) )
nên \(3A=2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) đối với bộ số không âm gồm \(\left(\frac{x}{y};\frac{y}{x}\right)\) , ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)
Do đó, \(3A\ge2.2+5=9\)
Hay nói cách khác, \(A\ge3\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+2y=3\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)
Vậy, \(A_{min}=3\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=1\)
19 tháng 7 2016
dùng cô si ( AM - GM ) thêm bớt nhanh hơn .
dự đoán điểm rơi x = y = 1
Gải : \(\frac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.x}=2\left(1\right).\)
\(\frac{2}{y}+2y\ge2\sqrt{\frac{2}{y}.2y}=4\left(2\right).\)
cống vế với vế của (1) và (2) ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+3\ge6\) ( do x + 2y = 3 )
=> \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)dấu "=" xẩy ra khi x = y = 1
25 tháng 9 2016
a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)
Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2
b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)
Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)
3 tháng 5 2018
\(A=\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y^3}{z+2x}+\frac{z^3}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{xy+2zx}+\frac{y^4}{yz+2xy}+\frac{z^4}{zx+2yz}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{3}=\frac{1}{3}\)
21 tháng 5 2016
4.
Xét biểu thức : \(1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}=1^2+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}+2\left(\frac{k-\left(k-1\right)-1}{k\left(k-1\right)}\right)=1^2+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}+2\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}-\frac{1}{k\left(k-1\right)}\right)=\left(1+\frac{1}{\left(k-1\right)}-\frac{1}{k}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+\frac{1}{\left(k-1\right)^2}+\frac{1}{k^2}}=\left|1+\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right|\)
Áp dụng : \(\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\)
\(\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)
...............................................................
\(\sqrt{1+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016^2}}=1+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}\)
Cộng vế các đẳng thức trên được : \(B=2016-\frac{1}{2016}\)
19 tháng 5 2016
ý thứ 2 là 8/7 chứ không phải 8/8 các bạn nhé. M đánh nhầm chữ
Áp dụng bđt quen thuộc \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(a;b;c>0\right)\) được
\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\ge\frac{9}{x+2y}=\frac{9}{3}=3\)
Dấu "=" tại x = y = 1