K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

https://www.google.com/search?q=cho+abc%3D1.+cm+1%2F2a%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3%2B2%3C1%2F2&rlz=1C1NHXL_viVN846VN846&oq=cho+abc%3D1.+cm+1%2F2a%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3%2B2%3C1%2F2&aqs=chrome..69i57.4867j0j7&sourceid=chrome&ie=UTF-8

29 tháng 4 2019

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2}{\frac{a+b}{2}}=\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

Áp dụng : 

\(\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}=\frac{1}{\left(a^3+b^3+1\right)+\left(a^3+c^3+1\right)}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{a^3+c^3+1}\right)\)

Tương tự: \(\frac{1}{2b^3+c^3+a^3+2}=\frac{1}{\left(a^3+b^3+1\right)+\left(b^3+c^3+1\right)}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}\right)\)

                 \(\frac{1}{2c^3+b^3+a^3+2}=\frac{1}{\left(c^3+b^3+1\right)+\left(a^3+c^3+1\right)}\le\frac{1}{4}.\left(\frac{1}{c^3+b^3+1}+\frac{1}{a^3+c^3+1}\right)\)

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta có:

\(\Sigma\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}\le\frac{1}{4}.2.\left(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\right)\)\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\right)\)

Ta chứng minh BĐT phụ:

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

Thật vậy!

Có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-ab\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge ab\left(a+b\right)\)( vì a,b>0 => a+b>0)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

                              đpcm

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

Áp dụng: \(\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự:\(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{1}{bc\left(b+c\right)+abc}=\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\) 

               \(\frac{1}{a^3+c^3+1}\le\frac{1}{ac\left(a+c\right)+abc}=\frac{1}{ac\left(a+b+c\right)}\)

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta có:

\(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\)\(\frac{1}{ab\left(a+b\right)}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=1\)

\(\Rightarrow\Sigma\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}\le\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\right)\le\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=1 

Tham khảo nhé~

AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 3 2020

Lời giải:

Xét hiệu: $a^3+b^3-ab(a+b)=(a-b)^2(a+b)\geq 0$ với mọi $a,b>0$

$\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)$

Hoàn toàn tương tự: $b^3+c^3\geq bc(b+c); c^3+a^3\geq ca(c+a)$

Do đó:

$2a^3+b^3+c^3+2=(a^3+b^3)+(a^3+c^3)+2abc\geq ab(a+b)+ac(a+c)+2abc$

$=a(ab+b^2+ac+c^2+2bc)=a[(b^2+c^2+2ab+a(b+c)]=a[(b+c)^2+a(b+c)]$

$=a(b+c)(a+b+c)$

$\Rightarrow \frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}\leq \frac{1}{a(b+c)(a+b+c)}=\frac{bc}{(b+c)(a+b+c)}$

Áp dụng BĐT AM-GM: $bc\leq \frac{(b+c)^2}{4}$ nên:

$\frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}\leq \frac{b+c}{4(a+b+c)}$

Tương tự với các phân thức còn lại:

$\Rightarrow \sum \frac{1}{2a^3+b^3+c^3+2}\leq \frac{2(a+b+c)}{4(a+b+c)}=\frac{1}{2}$

(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

27 tháng 8 2017

bài 1

<=> \(\frac{bc}{a\left(a+b+c\right)+bc}\)

sử dụng tiếp cauchy sharws

Bài 2: đặt a=x/y, b=y/x, c=z/x

NV
17 tháng 11 2019

Câu 1: \(P=\sum\frac{1}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^2}\) đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow abc=1\)

Nó chính là dòng 5 trở đi của bài 4 này, ko làm lại nữa nhé:

Câu hỏi của bach nhac lam - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Câu 2:

\(\frac{a^3}{\left(a^2+b^2+a^2\right)\left(a^2+a^2+c^2\right)}\le\frac{a^3}{\left(a^2+ab+ac\right)^2}=\frac{a}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Tương tự, cộng lại và rút gọn sẽ có đpcm

17 tháng 11 2019

Vũ Minh Tuấn, Băng Băng 2k6, Phạm Lan Hương, Pumpkin Night, No choice teen, HISINOMA KINIMADO,

tth, Nguyễn Lê Phước Thịnh, Chu Tuấn Minh, Lê Thị Hồng Vân, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm,

@Akai Haruma

giúp e vs ạ! thanks trước

16 tháng 6 2018

Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+1\ge2b\Rightarrow a^2+2b^2+3\ge2\left(ab+b+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)

Tương tự ta cũng có: 

\(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\)\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

Mà: \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{ab+b+1}+\)\(\frac{ab}{ab^2+abc+ab}+\frac{b}{bca+ab+b}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)\(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

3 tháng 5 2016

Ta có :\(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\)\(>=2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)

tương tự ta được \(b^2+2c^2+3>=2\left(bc+c+1\right)\)

                          \(c^2+2a^2+3>=2\left(ac+a+1\right)\)

theo đề bài abc=1

=> \(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\)=\(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+ab+1}+\frac{b}{ab+b+1}\)=1

=> VT<=1/2 

Dấu bằng khi a=b=c=1

3 tháng 5 2016

Ta có :$a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2$a2+2b2+3=(a2+b2)+(b2+1)+2$>=2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)$>=2ab+2b+2=2(ab+b+1)

tương tự ta được $b^2+2c^2+3>=2\left(bc+c+1\right)$b2+2c2+3>=2(bc+c+1)

                          $c^2+2a^2+3>=2\left(ac+a+1\right)$c2+2a2+3>=2(ac+a+1)

theo đề bài abc=1

=> $\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}$1ab+b+1 +1bc+c+1 +1ca+a+1 =$\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+ab+1}+\frac{b}{ab+b+1}$1ab+b+1 +abb+ab+1 +bab+b+1 =1

=> VT<=1/2 

Dấu bằng khi a=b=c=1

6 tháng 7 2016

Trả lời hộ mình đi

29 tháng 7 2020

Bài làm:

Ta có: \(a^2+2b^2+3=\left(a^2+b^2\right)+\left(b^2+1\right)+2\ge2ab+2b+2=2\left(ab+b+1\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)

Tương tự ta CM được:

\(\frac{1}{b^2+2c^2+3}\le\frac{1}{2\left(bc+c+1\right)}\)

\(\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le\frac{1}{2\left(ca+a+1\right)}\)

Cộng vế 3 BĐT trên ta được:

\(VP\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{ab^2c+abc+ab}+\frac{b}{abc+ab+b}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{ab}{b+1+ab}+\frac{b}{1+ab+b}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\frac{ab+b+1}{ab+b+1}=\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=1\)

29 tháng 7 2020

p/s : đéo biết làm thì câm mẹ mồm lại , loại súc vật như bạn ý thì cút khỏi olm cho sạch ạ !

Theo Cauchy ta dễ có : \(b^2+1\ge2\sqrt{b^2}=2b\)

\(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\)

Khi đó  : \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}\le\frac{1}{2+2b+2ab}=\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)

Bằng cách chứng minh tương tự rồi cộng theo vế các bđt cùng chiều thì ta được : 

\(VT\le\frac{1}{2}.\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{2}.\frac{1}{ca+a+1}=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)

Đặt \(A=\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}=\frac{ac}{abc.c+abc+ac}+\frac{a}{abc+ca+1}+\frac{1}{ca+a+1}=1\)

Từ đó ta thu được \(VT\le\frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}\)hay \(\frac{1}{a^2+2b^2+3}+\frac{1}{b^2+2c^2+3}+\frac{1}{c^2+2a^2+3}\le1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

7 tháng 10 2017

2/ GT <=> \(\left(a+b+c\right)abc\ge ab+bc+ca\)

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)abc}=\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)

Sao hôm thứ 7 nghỉ