Cho tứ giác ABCD.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. GọiG là trọng tâm của tam giácBCD. Chứng minh AG chia đôi Gn
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 9 2023
Tham khảo:
a) Ta có: M là trọng tâm của tam giác BCD
Nên M nằm trên trung tuyến BI (1)
Ta có: N là trọng tâm của tam giác ACD
Nên N nằm trên trung tuyến AI (2)
Từ (1) và (2) suy ra M và N thuộc mp (ABI)
b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AG, BG
Ta có: HK // AB
AB // MN
Suy ra MN // HK
Theo định lý Ta-let, ta có: \(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{{GN}}{{GK}} = \frac{{MN}}{{HK}}(1)\)
Ta có:\(\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{1}{2},\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{3}\)
Do đó \(\frac{{MN}}{{AB}}:\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{MN}}{{HK}} = \frac{2}{3}(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra\(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{2}{3}GH = \frac{1}{2}GA \Rightarrow \frac{{GM}}{{\frac{1}{2}GA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{3}\)
Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GN}}{{GB}} = \frac{1}{3}\)
c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC, BD
Tam giác AHD có:\(\frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)
Suy ra: QM // AD
Do đó, tam giác QGM đồng dạng với tam giác DGA
Nên D, G, Q thẳng hàng
Ta có: QM // AD nên \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)
Mà \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{QG}}{{GD}}\)
Do đó:\(\frac{{QG}}{{GD}} = \frac{1}{3}\)
Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{1}{3}\)
Suy ra điều cần chứng minh.
BT
12 tháng 5 2017
Gọi G lần lượt là trọng tâm tam giác ANP. Ta sẽ chứng minh G cũng là trọng tâm tam giác MQC.
Ta có: \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}\).
Ta cần chứng minh: \(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{0}\).
Thật vậy: \(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{PQ}\)
\(=\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GP}\right)+\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{PQ}\right)\)
\(=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{PQ}\).
Do các điểm M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên PQ và NM lần lượt là các đường trung bình của tam giác DAC và BAC.
Vì vậy: \(\overrightarrow{NM}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA};\overrightarrow{PQ}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}\).
Ta có: \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\).
Ta chứng minh được: \(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{0}\) nên G là trọng tâm tam giác CMQ.
Vậy hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.
11 tháng 10 2023
a: Gọi giao của AC và BD là O
ABCD là hình bình hành
=>AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường
=>O là trung điểm chung của AC và BD
Xét ΔADC có
AN,DO là trung tuyến
AN cắt DO tại F
Do đó: F là trọng tâm cuả ΔADC
Xét ΔABC có
AM,BO là trung tuyến
AM cắt BO tại E
Do đó: E là trọng tâm của ΔABC
b: E là trọng tâm của ΔABC
=>\(BE=\dfrac{2}{3}BO=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot BD=\dfrac{1}{3}BD\)
F là trọng tâm của ΔDAC
=>\(DF=\dfrac{2}{3}DO=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot BD=\dfrac{1}{3}\cdot BD\)
DF+FE+EB=DB
=>\(FE=DB-\dfrac{1}{3}DB-\dfrac{1}{3}DB=\dfrac{1}{3}DB\)
=>EB=EF=DF
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
24 tháng 9 2023
a) Ta có: \(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} \)\( = 4\overrightarrow {EG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} \)
Mà: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM} ;\) (do M là trung điểm của AB)
\(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN} \) (do N là trung điểm của CD)
\( \Rightarrow \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = 4\overrightarrow {EG} + 2(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} ) = 4\overrightarrow {EG} \) (do G là trung điểm của MN)
b) Vì E là trọng tâm tam giác BCD nên \(\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = \overrightarrow 0 \)
Từ ý a ta suy ra \(\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {EG} \)
c) Ta có: \(\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {EG} \Leftrightarrow \overrightarrow {EA} = 4.(\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AG} ) \Leftrightarrow - 3\overrightarrow {EA} = 4\overrightarrow {AG} \)
\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {AE} = 4\overrightarrow {AG} \) hay \(\overrightarrow {AG} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AE} \)
Suy ra A, G, E thẳng hàng và \(AG = \frac{3}{4}AE \) nên G thuộc đoạn AE.
1 tháng 12 2021
TK
a, Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD
=> O là trung điểm của AC và BD
hay OA = OC và OD = OB
Xét tam giác ADC có:
AF là đường trung tuyến ( F là trung điểm của DC)
DO là đường trung tuyến ( OA=OC)
Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại M
=> M là trọng tâm của tam giác ADC
Tương tự, xét tam giác ABC có:
AE là đường trung tuyến ( E là trung điểm của BC)
BO là đường trung tuyến ( OA=OC)
Hai đường trung tuyến cắt nhau tại N
=> N là trọng tâm của tam giác ABC
b,
Nối M với C ; N với C
Có OM = 1313 OD
ON = 1313 OB
mà OD = OB (cm câu a)
=> OM = ON
Xét tứ giác ANCM có:
OM = ON (cmt)
OA = OC (cm câu a)
=> tứ giác ANCM là hình bình hành
=> AM//CN hay AF//CN
Xét ΔΔ DNC có:
DF=CF (gt)
MF//CN (AF//CN)
=> DM = MN (1)
Gọi I là giao điểm của EF và MC
Xét ΔΔ BCD có:
DF = CF (gt)
BE = CE (gt)
=> EF là đường trung bình của ΔΔ BCD
=> EF//BD
hay EI//BD
Xét ΔΔ BMC có:
EI//BM ( M∈∈ BD)
BE = CE (gt)
=> MN = NB (2)
Hầy chỗ này bạn viết đề sai nữa rồi! phải là DM = MN = NB hoặc ngược lại
Từ (1) và (2) suy ra :
DM = MN =NB (đpcm)