Cmr \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) với mọi a,b
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 3 2018
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ab+abc\right)\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(c+1\right)\ge4\)(1)
Lại có:\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\left(c+1\right)^2\ge4c\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(c+1\right)\right]^2\ge16abc=16\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(c+1\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng\(\Rightarrowđpcm\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 6 2021
Lời giải:
BĐT cần CM tương đương với:
\(\left[\frac{(a+b)(1-ab)}{(a^2+1)(b^2+1)}\right]^2\leq \frac{1}{4}\)
Đặt $a+b=x; ab=y$ thì BĐT \(\Leftrightarrow \left(\frac{x(1-y)}{y^2+x^2-2y+1}\right)^2=\left(\frac{x(y-1)}{x^2+(y-1)^2}\right)^2\leq \frac{1}{4}\)
Điều này luôn đúng vì theo BĐT AM-GM:
\([x^2+(y-1)^2]^2=x^4+(y-1)^4+2x^2(y-1)^2\geq 2x^2(y-1)^2+2x^2(y-1)^2=[2x(y-1)]^2\)
\(\Rightarrow \frac{[x(y-1)]^2}{[x^2+(y-1)^2]^2}\leq \frac{[x(y-1)]^2}{[2x(y-1)]^2}=\frac{1}{4}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2022
Do \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
Nên BĐT tương đương:
\(\left(a+b+c\right)^2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+b^2+c^2=x\\ab+bc+ca=y\end{matrix}\right.\) với \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ge y\end{matrix}\right.\)
BĐT tương đương:
\(\left(x+2y\right)\left(x-y\right)^2\le x^3\)
\(\Leftrightarrow x^3-3xy^2+2y^3\le x^3\)
\(\Leftrightarrow y^2\left(3x-2y\right)\ge0\)
Hiển nhiên đúng do \(3x-2y=x+2\left(x-y\right)\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(ab+bc+ca=0\)
MD
25 tháng 7 2016
5) \(a^4+b^4+2\ge4ab\Leftrightarrow a^4-2a^2b^2+b^4\ge-\left(2a^2b^2-4ab+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\ge-2\left(ab-1\right)^2\)(đúng)
Vậy \(a^4+b^4+2\ge4ab\)
MD
25 tháng 7 2016
6) \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)^2=\left(\frac{a+c}{2}+\frac{b+d}{2}\right)^2\ge4\cdot\frac{a+c}{2}\cdot\frac{b+d}{2}=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)
MT
12 tháng 8 2015
1)
a) 4x4+81=4x2+36x2+81-36x2
=(2x2+9)2-36x2
=(2x2+9-6x)(2x2+9+6x)
b)
(x2+x+1)(x2+x+2)-12
=(x2+x+1)(x2+x+1+1)-12
=(x2+x+1)2+(x2+x+1)-12
=(x2+x+1)2-3(x2+x+1)+4.(x2+x+1)-12
=(x2+x+1).(x2+x+1-3)+4.(x2+x+1-3)
=(x2+x+1)(x2+x-2)+4.(x2+x-2)
=(x2+x-2)(x2+x+1+4)
=(x2+x-2)(x2+x+5)
12 tháng 8 2015
a) 4x^4 + 81
= 4x^4 + 2.2x^2 .9 + 81 - 36x^2
= ( 2x^2 + 9 )^2 - 36x^2
= (2x^2 - 6x + 9 )(2x^2 + 6x + 9 )
b) Đặt x^2 + x + 1 = a thay vào ta có
a ( a+ 1 ) - 12 = a^2 + a - 12
= a^2 + 4a - 3a - 12
= a ( a+ 4 ) - 3 ( a+ 4 )
= ( a- 3 )( a+ 4 )
Thay a = x^2 + x + 1 ta có :
( x^2 + x + 1 - 3 )(x^2 + x + 1 + 4 ) = (x^2 +x - 2 )(x ^2 + x + 5 )
Còn phân tích đc tiếp phân tích hộ mình nha
7 tháng 2 2017
Vì vai trò của a,b,c là như nhau , nên có thể giả thiết \(a\ge b>c>0.\)
Có thể thấy rằng phải chứng minh : \(B\ge0,\)với
\(B=3abc+a^3+b^3+c^3-a^2b-b^2a-a^2c-b^2c-c^2a-c^2b\)
\(=a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)+c\left(2ab-a^2-b^2\right)+c\left(c^2-bc-ac+ab\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)-c\left(a-b\right)^2+c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2\left(a+b-c\right)+\left(b-c\right)\left(a-c\right)\)
Do giả thiết \(a\ge b\ge c,c>0\)
\(\RightarrowĐPCM\)
Ta có : \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) ( luôn đúng với mọi a , b )
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) ( đpcm )