Question

[Nguyễn Hải An]

Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) : x² +y² - 12x +4y + 15 = 0 và điểm A(9;2) . Lập phương trình đường thẳng qua A cắt đường tròn (C) tại 2 điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bằng cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

(C): \(\left(x-6\right)^2+\left(y+2\right)^2=25\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}I\left(6;-2\right)\\R=5\end{matrix}\right.\)

Gọi 2 giao điểm là B, C, độ dài cạnh hình vuông nội tiếp:

\(BC=R\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)

Gọi H là trung điểm BC \(\Rightarrow IH=d\left(I;BC\right)=\sqrt{R^2-\frac{AB^2}{4}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\)

Phương trình đường thẳng d có dạng: \(ax+by+c=0\)

Do d qua A \(\Rightarrow9a+2b+c=0\Rightarrow c=-9a-2b\)

\(\Rightarrow ax+by-9a-2b=0\)

Áp dụng công thức khoảng cách:

\(d\left(I;d\right)=\frac{\left|6a-2b-9a-2b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow2\left(3a+4b\right)^2=25\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow7a^2-48ab-7b^2=0\Leftrightarrow\left(a-7b\right)\left(7a+b\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=7b\\b=-7a\end{matrix}\right.\)

Có 2 phương trình đường thẳng thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}7bx+by-9.7b-2b=0\\ax-7ay-9a+14a=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}7x+y-65=0\\x-7y+5=0\end{matrix}\right.\)