Question

[Ánh Dương]

chứng minh rằng \(n^4+7\left(7+2n^2\right)⋮64\) với mọi n là số nguyên lẻ

Answer 1

[Nguyễn Thành Trương]

\(n^4+7\left(7+2n^2\right)\)

\(=n^4+14n^2+49\)

\(=\left(n^2\right)^2+2.7.n^2+7^2\)

\(=\left(n^2+7\right)^2\)

Vì n là số nguyên nẻ nên n có dạng 2k + 1 với k là số nguyên

\(\Rightarrow\left(n^2+7\right)^2=\left[\left(2k+1\right)^2+7\right]^2\)

\(=\left[\left(4k^2+4k+1\right)+7\right]^2\)

\(=\left[4k\left(k+1\right)+8\right]^2\)

Ta thấy \(\hept{\begin{cases}k\left(k+1\right)⋮2\forall k\in Z\\4⋮4\end{cases}}\) nên \(4k\left(k+1\right)⋮8\forall k\in Z\)

\(\Rightarrow4k\left(k+1\right)+8⋮8\forall k\in Z\)

\(\Rightarrow\left[4k\left(k+1\right)+8\right]^2⋮8^2\forall k\in Z\)

\(\Rightarrow\left[4k\left(k+1\right)+8\right]^2⋮64\forall k\in Z\)

Hay \(n^4+7\left(7+2n^2\right)⋮64\forall n\)là số nguyên lẻ (đpcm)