Question

[Hoàng Hải Dương]

 Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.

a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân

b) Kẻ BH ⊥ AM, kẻ CK ⊥ AN. Chứng minh rằng BH = CK

c) CMR AH = AK

d) Gọi O là giao điểm của HB và KC. Tam giác OBC là tam giác gì ? Vì sao

e) Khi góc BAC = 60o và BM = CN = BC hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định dạng của tam giác OBC

Answer 1

[Kuruishagi zero]

a) ΔABC cân tại A suy ra 

Ta lại có :

- ΔABM và ΔACN có

      AB = AC (Do ΔABC cân tại A).

      

      BM = CN(gt)

⇒ ΔABM = ΔACN (c.g.c)

⇒ AM = AN (hai góc tương ứng) ⇒ ΔAMN cân tại A.

b) Hai tam giác vuông BHM và CKN có

      BM = CN (gt)

      

⇒ ΔBHM = ΔCKN (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ BH = CK (hai cạnh tương ứng)

c) Theo câu b ta có ΔBHM = ΔCKN ⇒HM = KN (hai góc tương ứng)

Mà AM = AN ⇒ AM –MH = AK – KN hay AH = AK.

d) ΔBHM = ΔCKN

Vậy tam giác OBC là tam giác cân tại O.

e) Khi góc BAC = 60º và BM = CN = BC

Tam giác cân ABC có góc BAC = 60º nên là tam giác đều

⇒ AB = BC và góc B1 = 60º

Ta có: AB = CB, BC = BM (gt) ⇒ AB = BM ⇒ ΔABM cân ở B ⇒ 

Mà theo tính chất góc ngoài trong ΔBAM thì

Tương tự ta có

Tam giác cân OBC có góc B3=60º nên ΔOBC là tam giác đều.

Answer 2

[Nguyễn Quỳnh Nhi]

a) tam giác ABC cân 

=> góc ABC=góc ACB

góc MBA+góc ABC=180độ (kề bù)

góc NCA+góc ACB=180độ(kề bù)

=> góc ABM=góc ACN

xét 2 tam giác ABM và ACN có: 

AB=AC(tam giác ABC cân )

góc ABM=góc ACN(chứng minh trên)

BM=CN(gt)

=> 2 tam giác ABM=ACN(c.g.c)

=> AM=AN(2 cạnh tương ứng)

=> tam giác AMN cân ở A

b) tam giác AMN cân ở A

=> góc M=góc N

xét 2 tam giác MHB và NKC có:

góc MHB=góc NKC(=90độ)

MB=NC(gt)

góc M =góc N(chứng minh trên)

=> 2 tam giác MHB=NKC(cạnh huyền - góc nhọn)

=> BH=CK(2 cạnh tương ứng)

c) ta có : AM=AN  (theo a) 

               HM=KN (tam giác MHB=tam giác NKC)

AM = AH+HM

AN= AK+ KN 

=> AH= AK

d) tam giác MHB=tam giác NKC(theo b) 

=> góc HBM=góc KCN(2 góc tương ứng)

góc HBM=góc OBC(đối đỉnh)

góc KCN=góc OCB(đối đỉnh)

=> góc OBC=góc OCB

=> tam giác OBC cân ở O

e) tam giác ABC có AB=AC ; góc BAC=60độ 

=> tam giác ABC đều 

=> AB=AC=BC

mà BC=BM(gt)

=> BM=AB

=>tam giác ABM cân ở B

góc ABC + góc ABM=180độ (kề bù)

=> góc ABM =180độ - góc ABC

                     =180độ-60độ

                     =120độ

tam giác ABC cân ở B 

=> góc BAM=góc BMA =(180độ-góc ABM) / 2=$\frac{{180}^0-{120}^0}{2}=\frac{{60}^0}{2}={30}^0$

vậy góc AMN=30độ