Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(y=\sqrt{6-x}+\sqrt{x+2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 10 2021
Lời giải:
ĐKĐB $\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6}$
$\Rightarrow (x+y)^2=(\sqrt{x+6}+\sqrt{y+6})^2\leq (x+6+y+6)(1+1)$ (theo BĐT Bunhiacopxky)
$\Leftrightarrow (x+y)^2\leq 2(x+y+12)$
$\Leftrightarrow (x+y)^2-2(x+y)-24\leq 0$
$\Leftrightarrow (x+y+4)(x+y-6)\leq 0$
$\Leftrightarrow -4\leq x+y\leq 6$
Vậy $A_{\max}=6$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 1 2021
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=sina\\y=sinb\end{matrix}\right.\) với \(a;b\in\left(0;\dfrac{\pi}{2}\right)\)
\(P=\sqrt{sina}+\sqrt{sinb}+\sqrt[4]{12}.\sqrt{sina.cosb+cosa.sinb}\)
\(P\le\sqrt{2\left(sina+sinb\right)}+\sqrt[4]{12}.\sqrt{sin\left(a+b\right)}\)
Do \(sina+sinb=2sin\dfrac{a+b}{2}cos\dfrac{a-b}{2}\le2sin\dfrac{a+b}{2}\)
\(\Rightarrow P\le2\sqrt{sin\dfrac{a+b}{2}}+\sqrt[4]{12}.\sqrt{sin\left(a+b\right)}=2\sqrt{sint}+\sqrt[4]{12}.\sqrt{sin2t}\)
\(\Rightarrow\dfrac{P}{\sqrt{2}}\le\sqrt{2sint}+\sqrt{\sqrt{3}.sin2t}\Rightarrow\dfrac{P^2}{4}\le2sint+\sqrt{3}sin2t\)
\(\Rightarrow\dfrac{P^2}{8}\le sint\left(1+\sqrt{3}cost\right)\Rightarrow\dfrac{P^4}{64}\le sin^2t\left(1+\sqrt{3}cost\right)^2\le2sin^2t\left(1+3cos^2t\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{P^4}{128}\le sin^2t\left(4-3sin^2t\right)=-3sin^4t+4sin^2t\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{P^4}{128}\le-3\left(sin^2t-\dfrac{2}{3}\right)^2+\dfrac{4}{3}\le\dfrac{4}{3}\)
\(\Rightarrow P\le4.\sqrt[4]{\dfrac{2}{3}}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(sint=\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 5 2022
Lời giải:
\(P=\frac{2(\sqrt{x}+2)+2}{\sqrt{x}+2}=2+\frac{2}{\sqrt{x}+2}\)
Với $x>3$ và $x$ là số tự nhiên thì $x\geq 4$
$\Rightarrow \sqrt{x}+2\geq \sqrt{4}+2=4$
$\Rightarrow \frac{2}{\sqrt{x}+2}\leq \frac{1}{2}$
$\Rightarrow P\leq 2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$
Vậy $P_{\max}=\frac{5}{2}$ khi $x=4$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 4 2022
Ta có:
\(1.\sqrt{1+x^2}+1.\sqrt{2x}\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(1+x^2+2x\right)}=\sqrt{2}\left(x+1\right)\)
Tương tự:
\(\sqrt{1+y^2}+\sqrt{2y}\le\sqrt{2}\left(y+1\right)\) ; \(\sqrt{1+z^2}+\sqrt{2z}\le\sqrt{2}\left(z+1\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\sqrt{2}\left(x+y+z+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right)\left(x+y+z\right)\le\sqrt{2}\left(3+3\right)+\left(2-\sqrt{2}\right).3=6+3\sqrt{2}\)
\(P_{max}=6+3\sqrt{2}\) khi \(x=y=z=1\)
16 tháng 5 2019
2. \(P=x^2-x\sqrt{3}+1=\left(x^2-x\sqrt{3}+\frac{3}{4}\right)+\frac{1}{4}=\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Vây \(P_{min}=\frac{1}{4}\)khi \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
3. \(Y=\frac{x}{\left(x+2011\right)^2}\le\frac{x}{4x.2011}=\frac{1}{8044}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=2011\)
Vây \(Y_{max}=\frac{1}{8044}\)khi \(x=2011\)
4. \(Q=\frac{1}{x-\sqrt{x}+2}=\frac{1}{\left(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4}\right)+\frac{7}{4}}=\frac{1}{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}}\le\frac{4}{7}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=\frac{1}{4}\)
Vậy \(Q_{max}=\frac{4}{7}\)khi \(x=\frac{1}{4}\)
Giả theo cách lớp 7 nha:
Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{6-x}=a\\\sqrt{x+2}=b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2=8\)
Ta có:
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2ab\le a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)=2\cdot8=16\)
\(\Leftrightarrow a+b\le4\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=2\)
\(\Leftrightarrow x=2\)
\(ĐKXĐ:-2\le x\le6\)
Áp dụng BĐT \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2.\left(a+b\right)}\) với \(a,b\ge0\) ta có :
\(y=\sqrt{6-x}+\sqrt{x+2}\le\sqrt{2.\left(6-x+x+2\right)}=\sqrt{2.8}=4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow6-x=x+2\Leftrightarrow x=2\)
Vậy \(y_{min}=4\) khi \(x=2\)