Cho abc=1. CMR \(\dfrac{a}{ab}+a+1+\dfrac{b}{bc}+b+1+\dfrac{c}{ac}+c+1=1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NK
2
16 tháng 2 2019
mình nghĩ đề thế này, do bạn ko viết a+1,b+1,c+1 dưới mẫu
Cho abc = 1 . CMR : \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}=1\)
GIẢI
Ta có : \(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{abc+ab+a}+\frac{abc}{a^2bc+abc+ab}\)
\(=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{ab}{ab+a+1}+\frac{1}{ab+a+1}\)
\(=\frac{ab+a+1}{ab+a+1}=1\)
KD
2
N
16 tháng 2 2019
\(\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ac+c+1}\)
\(=\dfrac{ac}{abc+ac+1}+\dfrac{ab}{abc+ab+1}+\dfrac{bc}{abc+bc+1}\)
\(=\dfrac{ac}{ac+2}+\dfrac{ab}{ab+2}+\dfrac{bc}{bc+2}\)
\(=abc\left(\dfrac{b}{abc+2}+\dfrac{c}{abc+2}+\dfrac{a}{abc+2}\right)\)
\(=1.1=1\)(đpcm).
Vậy \(\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ac+c+1}=1\).
B
1
UK
14 tháng 8 2017
\(\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{a}{a+ab+abc}+\dfrac{1}{abc+ac+c}\)
\(=\dfrac{1}{1+a+ab}+\dfrac{a}{1+a+ab}+\dfrac{1}{c\left(1+a+ab\right)}\)
\(=\dfrac{ac+c+1}{c\left(1+a+ab\right)}=\dfrac{c\left(a+1+ab\right)}{c\left(1+a+ab\right)}=1\)
X
9 tháng 2 2021
Gọi DD là điểm trên cạnh ACAC sao cho DB=DCDB=DCgọi EE là điểm trên cạnh BCBC sao cho CE=ABCE=AB7ˆC=180∘7C^=180∘ˆDBC=ˆDCB=12ˆABC=ˆABDDBC^=DCB^=12ABC^=ABD^⇒△ABD∼△ACB⇒△ABD∼△ACB (g, g)⇒ABAC=BDCB⇒ABAC=BDCB (1)△ABD=△ECD△ABD=△ECD (c, g, c) (2)(2)⇒ˆDEC=ˆDAB=4ˆC⇒DEC^=DAB^=4C^⇒ˆDEB=180∘−4ˆC=3ˆC⇒DEB^=180∘−4C^=3C^ (3)(2)⇒ˆEDC=ˆADB=2ˆC⇒EDC^=ADB^=2C^⇒ˆEDB=180∘−ˆEDC−ˆADB=3ˆC⇒EDB^=180∘−EDC^−ADB^=3C^ (4)từ (3, 4)⇒DB=EB⇒DB=EB (5)từ (1, 5)⇒ABAC=EBBC=1−ECBC=1−ABBC⇒ABAC=EBBC=1−ECBC=1−ABBC⇒ABAC+ABBC=1⇒ABAC+ABBC=1⇒1AB=1AC+1BC⇒1AB=1AC+1BC (đpcm)
Nguồn: https://diendantoanhoc.net/topic/181822-frac1abfrac1acfrac1bc/
Hình gửi kèm
Nguồn: https://diendantoanhoc.net/topic/181822-frac1abfrac1acfrac1bc/
HH
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
2 tháng 5 2018
Lời giải:
Ta có:
\(\text{VT}=\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{a.c}{abc+ac+c}+\frac{b.ac}{bc.ac+b.ac+ac}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{1}{c+1+ac}+\frac{c}{ac+c+1}\) (thay \(abc=1\) )
\(=\frac{ac+1+c}{ac+1+c}=1\)
Ta có đpcm.
23 tháng 6 2021
\(VT=\dfrac{a^3bc}{c+ab^2c}+\dfrac{ab^3c}{a+abc^2}+\dfrac{abc^3}{b+a^2bc}\)
\(=abc\left(\dfrac{a^2}{c+ab^2c}+\dfrac{b^2}{a+abc^2}+\dfrac{c^2}{b+a^2bc}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng engel có:
\(VT\ge\dfrac{abc\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+abc\left(a+b+c\right)}\)\(=\dfrac{abc\left(a+b+c\right)}{1+abc}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Vậy...
23 tháng 6 2021
Sai đề không bạn,tại a=b=c=2 thay vào không thỏa mãn nha
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 6 2021
\(c\left(1+ab\right)\le c\left(1+\dfrac{a^2+b^2}{2}\right)=c\left(1+\dfrac{1-c^2}{2}\right)=1-\dfrac{1}{2}\left(c-1\right)^2\left(c+2\right)\le1\)
\(\Rightarrow c^2\left(1+ab\right)\le c\Rightarrow\dfrac{c}{1+ab}\ge c^2\)
Hoàn toàn tương tự ta có: \(\dfrac{a}{1+bc}\ge a^2\) ; \(\dfrac{b}{1+ac}\ge b^2\)
Cộng vế: \(VT\ge a^2+b^2+c^2=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 6 2021
Cách 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\text{VT}[a(1+bc)+b(1+ac)+c(1+ab)]\geq (a+b+c)^2\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3abc}\)
Ta sẽ CM:
\(\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3abc}\geq 1\)
\(\Leftrightarrow 1+2(ab+bc+ac)\geq a+b+c+3abc\)
Vì $a^2+b^2+c^2=1\Rightarrow a,b,c\leq 1$
$\Rightarrow (a-1)(b-1)(c-1)\leq 0$
$\Leftrightarrow 1+ ab+bc+ac\geq a+b+c+abc(1)$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$ab+bc+ac\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2.abc}=3abc\geq 2abc(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow 1+2(ab+bc+ac)\geq a+b+c+3abc$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $(a,b,c)=(1,0,0)$ và hoán vị.
HT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 8 2021
Do \(abc=1\Rightarrow\) đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\dfrac{x}{y};\dfrac{y}{z};\dfrac{z}{x}\right)\)
\(VT=\dfrac{xz}{y\left(x+z\right)}+\dfrac{xy}{z\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{x\left(y+z\right)}=\dfrac{\left(xz\right)^2}{xyz\left(x+z\right)}+\dfrac{\left(xy\right)^2}{xyz\left(x+y\right)}+\dfrac{\left(yz\right)^2}{xyz\left(y+z\right)}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{2xyz\left(x+y+z\right)}\ge\dfrac{3xyz\left(x+y+z\right)}{2xyz\left(x+y+z\right)}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c=1\)
Chắc bạn viết nhầm đề, cho \(a=b=c=1\) đâu có đúng
Sửa lại đề: cho \(abc=1\) chứng minh \(\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ac+c+1}=1\)
Ta có
\(\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ac+c+1}=\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{ab}{abc+ab+a}+\dfrac{c}{ac+c+abc}\)
\(=\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{ab}{1+ab+a}+\dfrac{c}{c\left(a+1+ab\right)}\)
\(=\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{ab}{ab+a+1}+\dfrac{1}{ab+a+1}\)
\(=\dfrac{a+ab+1}{ab+a+1}=1\) (đpcm)
Đề bạn Lâm đúng đấy!