Question

[Quang Phạm]

tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x^2-x+1/x^2+x+1 với các giá trị của x>0

Answer 1

[Trần Thanh Phương]

P/s: ko chắc 

\(P=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\)

\(P=\frac{x^2}{x^2+x+1}-\frac{x}{x^2+x+1}+\frac{1}{x^2+x+1}\)

\(P=x^2\cdot\frac{1}{x^2+x+1}-x\cdot\frac{1}{x^2+x+1}+\frac{1}{x^2+x+1}\)

\(P=\frac{1}{x^2+x+1}\left(x^2-x+1\right)\)

\(P=\frac{1}{x^2+x+1}\left[x^2-2\cdot x\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\right]\)

\(P=\frac{1}{x^2+x+1}\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\)

\(P=\frac{1}{x^2+x+1}\cdot\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{x^2+x+1}\cdot\frac{3}{4}\)

Vì \(\frac{1}{x^2+x+1}\cdot\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{x^2+x+1}\cdot\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2+x+1}\cdot\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\Leftrightarrow x-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Vậy...

Answer 2

[Thanh Tùng DZ]

dễ hơn nè

Ta thấy x² + x + 1 > 0

Ta có : 2 ( x - 1 )² \(\ge\)0 \(\Rightarrow\)2x² - 4x + 2 \(\ge\)0 \(\Rightarrow\)3 ( x² - x + 1 ) \(\ge\)x² + x + 1

\(\Rightarrow\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\ge\frac{1}{3}\) . Dấu " = " xảy ra  \(\Leftrightarrow\)x = 1