K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

14 tháng 8 2016

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{z}};y+z\ge2\sqrt{yz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{x}};z+x\ge2\sqrt{xz}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{y}}.\)( vì xyz=1)

=> P\(\ge\)\(\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\)\(\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}a=y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}\\b=z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}\\c=x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}\end{cases}\left(a;b;c\ge0\right)}\)<=> \(\hept{\begin{cases}4a+b=2c+9z\sqrt{z}\\4b+c=2a+9x\sqrt{x}\\4c+a=2b+9y\sqrt{y}\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}z\sqrt{z}=\frac{4a+b-2c}{9}\\x\sqrt{x}=\frac{4b+c-2a}{9}\\y\sqrt{y}=\frac{4c+a-2b}{9}\end{cases}}\)

Do đó:

\(\ge\)\(\frac{2}{9}\cdot\left(\frac{4a+b-2c}{c}+\frac{4b+c-2a}{a}+\frac{4c+a-2b}{b}\right)\)

<=> P \(\ge\)\(\frac{2}{9}\left(4\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right)-6\right)\)

<=> P \(\ge\frac{2}{9}\cdot\left(4\cdot3\cdot\sqrt[3]{\frac{a}{c}\cdot\frac{b}{a}\cdot\frac{c}{b}}+3\cdot\sqrt[3]{\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{b}}-6\right)\)( Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số ko âm)

<=> P \(\ge\frac{2}{9}\left(12+3-6\right)=2\)( đpcm)

Dấu = khi x=y=z=1.

23 tháng 7 2016

Đặt  \(J=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)  với  \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\x+y+z\le1\end{cases}}\left(i\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức  \(B.C.S\)  cho hai bộ số thực không âm gồm có  \(\left(x^2;\frac{1}{x^2}\right)\)  và  \(\left(1^2+9^2\right),\) ta có:

\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(1^2+9^2\right)\ge\left(x+\frac{9}{x}\right)^2\)

\(\Rightarrow\)  \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{x}\right)\)   \(\left(1\right)\)

Đơn giản thiết lập hai bất đẳng thức còn lại theo vòng hoán vị  \(y\rightarrow z\) , ta cũng có:

\(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(y+\frac{9}{y}\right)\)   \(\left(2\right);\)   \(\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(z+\frac{9}{z}\right)\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế  các bđt  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right);\)  và  \(\left(3\right)\) , suy ra:

\(J\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\)

Ta có:

\(K=x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\)

\(=\left(9x+\frac{1}{x}\right)+\left(9y+\frac{1}{y}\right)+\left(9z+\frac{1}{z}\right)+8\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-8\left(x+y+z\right)\)

Khi đó, áp dụng bđt Cauchy đối với từng ba biểu thức đầu tiên, tiếp tục với bđt Cauchy-Swarz dạng Engel cho biểu thức thứ tư, chú ý rằng điều kiện đã cho  \(\left(i\right)\) , ta có:

\(K\ge2\sqrt{9x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{9y.\frac{1}{y}}+2\sqrt{9z.\frac{1}{z}}+\frac{72}{x+y+z}-8\left(x+y+z\right)\)

     \(=6+6+6+72-8=82\)

Do đó,  \(K\ge82\)

Suy ra  \(J\ge\frac{82}{\sqrt{82}}=\sqrt{82}\)  (đpcm)

Dấu   \("="\)  xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

6 tháng 11 2017

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\)

Nhân theo vế 2 BĐT trên ta có:

\(VT\ge3^2\cdot\sqrt[3]{xyz\cdot\frac{1}{xyz}}=9=VP\)

Xảy ra khi \(a=b=c\)

28 tháng 9 2018

\(xy+yz+zx=xyz\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Đặt \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\) thì

\(\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\P=\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{1}{16}\end{cases}}\)

Ta co:

\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{64}+\frac{1+c}{64}\ge\frac{3a}{16}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{3a}{16}-\frac{b}{64}-\frac{c}{64}-\frac{1}{32}\)

Từ đây ta co:

\(P\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{3}{16}-\frac{1}{64}-\frac{1}{64}\right)-\frac{3}{32}=\frac{1}{16}\)

14 tháng 12 2016

Nguyên trang bất đăng thức Bunhacoxki  rồi.