cho x > 0, y>0 và x+y=1. Chứng minh : 8(x^4 + y^4) + \(\frac{1}{xy}\) \(\ge\)5
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 4 2019
https://olm.vn/hoi-dap/detail/5617054235.html
13 tháng 4 2019
https://olm.vn/hoi-dap/detail/5617054235.html
Xem tại: Câu hỏi của Vương Hoàng Minh - Toán lớp 9 - Bất đẳng thức
14 tháng 5 2018
áp dụng bđt dang Engel
P=1/[x(x+y) ]+1/[y(x+y) ]
=1/(x+y). (1/x+1/y)
=1/(x+y). [(x+y) /xy]=1/(xy)
x+y≤1,x, y>0=>x.y≤1/4
p≥1/(1/4)=4
đẳng thức khi x=y=1/2
....
TH
1
9 tháng 9 2019
Với mọi x,y >0 có \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
=> \(1\ge4xy\) (do x+y=1) <=> \(\frac{1}{xy}\ge4\)
Lại có \(x^2+y^2\ge2xy\)
<=> \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\)
<=> \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)
Có \(x^4+y^4\ge2x^2y^2\)
<=> \(2\left(x^4+y^4\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\ge\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
<=> \(8\left(x^4+y^4\right)\ge\frac{1}{4}.4=1\)
=> \(8\left(x^4+y^4\right)+\frac{1}{xy}\ge1+4=5\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=\(\frac{1}{2}\)
\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\)
9 tháng 9 2019
Cho mik hỏi sao \(\left(x^2+y^2\right)^2\)≥ \(\left(\frac{1}{2}\right)^2\) vậy bạn
9 tháng 8 2017
2) Ta có:
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\)
Áp dụng BĐT Schwarz:
\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
Mà x+y=1 nên suy ra:
\(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge4\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\ge8\)
=>đpcm.
Dấu ''='' xảy ra khi x=y=1/2
16 tháng 4 2019
a) \(\text{ }x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Leftrightarrow x^4+y^4-x^3y-xy^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)(ĐPCM)
*NOTE: chứng minh đc vì (x-y)^2 >= 0 ; x^2 +xy +y^2 > 0
S1
16 tháng 4 2019
mình cũng làm đến nơi rồi nhưng sợ x^2+xy+y^2 chưa chắc lớn hơn 0 thanks bạn nhé
HH
2
25 tháng 7 2018
\(VT=\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\)
\(\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\)
\(=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}>4\)
25 tháng 7 2018
Cách khác.
Ta có: \(A=\dfrac{1}{x\left(x+y\right)}+\dfrac{1}{y\left(x+y\right)}=\dfrac{1}{x+y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(=\dfrac{1}{x+y}.\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{xy}\)
Áp dụng BĐT cho các số x,y >0 , ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\)
Và x+y \(\le\)1 \(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\) \(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=4\)
Dấu ''='' xảy ra khi x = y =0,5
PG
1
25 tháng 1 2018
Có : (x-y)^2 >= 0
<=> x^2-2xy+y^2 >= 0
<=> x^2+y^2 >= 2xy
<=> x^2+2xy+y^2 >= 4xy
<=> (x+y)^2 >= 4xy
Với x,y > 0 thì chia 2 vế bđt cho (x+y).xy > 0 ta được :
x+y/xy >= 4/x+y
<=> 1/x + 1/y >= 4xy
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> x=y > 0
Tk mk nha
NV
1
30 tháng 9 2017
Ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)(BĐT Cô si) (1)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\) (2)
Từ (1) và (2) Suy ra : \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge2\sqrt{xy}.\frac{2}{\sqrt{xy}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)(đpcm)
tíck mình nha bn!!!!! thanks
KN
14 tháng 4 2020
Bất đẳng thức bị ngược dấu rồi!
Ta có: \(x+yz=x\left(x+y+z\right)+yz=\left(x+y\right)\left(z+x\right)\)
Tương tự ta có: \(y+zx=\left(x+y\right)\left(y+z\right);z+xy=\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}=8xyz\)
\(\Rightarrow\text{Σ}_{cyc}\frac{x}{x+yz}=\frac{\text{Σ}_{cyc}\left[x\left(y+z\right)\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(=\frac{2\left[\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+xyz\right]}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}=2+\frac{2xyz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
\(\le2+\frac{2xyz}{8xyz}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
Đẳng thức xảy ra\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)
Áp dụng các bất đẳng thức sau (tự chứng minh)
\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
được \(8\left(x^4+y^4\right)\ge8\left[\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\right]=4\left(x^2+y^2\right)^2\ge4\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2=1\)
Lại có: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow1\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)
Cộng 2 vế của 2 bđt trên lại ta đc đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1/2
Vậy .....