Question

[phạm anh thùy]

Giải hệ phương trình :

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\sqrt{x^2+4}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=2\\12y^2-10y+2=2\sqrt[3]{x^3+1}\end{matrix}\right.\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Ta có \(x-\sqrt{x^2+4}\ne0\) và \(y-\sqrt{y^2+1}\ne0\)

Nhân 2 vế của pt đầu cho \(x-\sqrt{x^2+4}\) ta được:

\(x-\sqrt{x^2+4}=-2\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)\) (1)

Nhân 2 vế của pt đầu cho \(y-\sqrt{y^2+1}\) ta được:

\(x+\sqrt{x^2+4}=-2\left(y-\sqrt{y^2+1}\right)\) (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: \(2x=-4y\Rightarrow x=-2y\)

Biến đổi pt dưới 1 chút:

\(3\left(-2y\right)^2+5\left(-2y\right)+2=2\sqrt[3]{x^3+1}\)

\(\Leftrightarrow3x^2+5x+2=2\sqrt[3]{x^3+1}\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x+1+2\left(x+1\right)=x^3+1+2\sqrt[3]{x^3+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3+2\left(x+1\right)=\left(\sqrt[3]{x^3+1}\right)^3+2\sqrt[3]{x^3+1}\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^3+2t\), ta có \(f'\left(t\right)=3t^2+2>0\forall t\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(t_1\right)=f\left(t_2\right)\Leftrightarrow t_1=t_2\)

\(\Rightarrow x+1=\sqrt[3]{x^3+1}\Leftrightarrow\left(x+1\right)^3=x^3+1\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x+1=x^3+1\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow y=0\\x=-1\Rightarrow y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

Answer 2

[phạm anh thùy]

thank you