Chứng minh rằng : C=\(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+....+\frac{1}{n^3}< \frac{1}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 6 2017
sửa đề câu 1 :
\(\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+...+\frac{99}{100!}\)
\(=\frac{2-1}{2!}+\frac{3-1}{3!}+\frac{4-1}{4!}+...+\frac{100-1}{100!}\)
\(=\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}\)
\(=1-\frac{1}{100!}< 1\)
sửa đề câu 2
\(\frac{1.2-1}{2!}+\frac{2.3-1}{3!}+\frac{3.4-1}{4!}+...+\frac{99.100-1}{100!}\)
\(=\frac{1.2}{2!}-\frac{1}{2!}+\frac{2.3}{3!}-\frac{1}{3!}+\frac{3.4}{4!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{99.100}{100!}-\frac{1}{100!}\)
\(=\left(\frac{1.2}{2!}+\frac{2.3}{3!}+\frac{3.4}{4!}+...+\frac{99.100}{100!}\right)-\left(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{100!}\right)\)
\(=\left(1+1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{98!}\right)-\left(\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{100!}\right)\)
\(=2-\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}< 2\)
13 tháng 8 2019
Đặt P = ...
* Chứng minh P > 1/2 :
\(P\ge\frac{\left(1+1+1+...+1\right)^2}{n+1+n+2+n+3+...+n+n}\)
Từ \(n+1\) đến \(n+n\) có n số => tổng \(\left(n+1\right)+\left(n+2\right)+\left(n+3\right)+...+\left(n+n\right)\) là:
\(\frac{n\left(n+n+n+1\right)}{2}=\frac{n\left(3n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(P\ge\frac{n^2}{\frac{n\left(3n+1\right)}{2}}=\frac{2n}{3n+1}\)
Mà \(n>1\)\(\Leftrightarrow\)\(4n>3n+1\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{n}{3n+1}>\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(P>\frac{1}{2}\)
* Chứng minh P < 3/4 :
Có: \(\frac{1}{n+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+1\right)\)
\(\frac{1}{n+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2}\right)\)
\(\frac{1}{n+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right)\)
...
\(\frac{1}{n+n}=\frac{1}{2n}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)\)
\(\Rightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2}+\frac{1}{n}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(n.\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)< \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}< \frac{3}{4}\) ( do n>1 )
\(\Rightarrow\)\(P< \frac{3}{4}\)
19 tháng 6 2016
Ta có : \(\frac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\frac{\sqrt{k}}{k\left(k+1\right)}=\sqrt{k}\left(\frac{1}{k\left(k+1\right)}\right)=\sqrt{k}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\sqrt{k}\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)
Áp dụng : \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=2-\frac{2}{\sqrt{n+}}< 2\)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
26 tháng 6 2019
Tham khảo nha bạn :
Câu hỏi của Trần Minh Hưng - Toán lớp | Học trực tuyến
Không có điều kiện gì à?Nếu n = 1 \(C>1>\frac{1}{4}\) vậy c/m làm gì?
Chắc là n>=3 đó