cho a+b+c= S( S là hằng số) . tìm giá trị lớn nhất của ab+bc+ac
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 7 2021
\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\Rightarrow-3\le a+b+c\le3\)
\(S=a+b+c+\dfrac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+a+b+c-\dfrac{3}{2}\)
Đặt \(a+b+c=x\Rightarrow-3\le x\le3\)
\(S=\dfrac{1}{2}x^2+x-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{2}\left(x+1\right)^2-2\ge-2\)
\(S_{min}=-2\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=-1\\a^2+b^2+c^2=3\end{matrix}\right.\) (có vô số bộ a;b;c thỏa mãn)
\(S=\dfrac{1}{2}\left(x^2+2x-15\right)+6=\dfrac{1}{2}\left(x-3\right)\left(x+5\right)+6\le6\)
\(S_{max}=6\) khi \(x=3\) hay \(a=b=c=1\)
MT
1
20 tháng 8 2016
Cần thêm điều kiện a,b,c,d là các số không âm.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(a\ge b\ge c\ge d\ge0\)
thì : \(S=ab+bc+cd\le ab+ac+ad=a\left(b+c+d\right)=a\left(1-a\right)\)\(=-a^2+a=-\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}=-\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)
Vậy max S = 1/4 khi , chẳng hạn a = b = 1/2 , c = d =0
18 tháng 4 2016
Ta có : \(\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}=\sqrt{\frac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\)
Tương tự ta cũng có
\(\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+a}\right);\sqrt{\frac{ca}{ca+2b}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}\right)\)
Cộng các vế ta được \(S\le\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{a+b}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{c+a}{c+a}\right)=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{2}{3}\)
Vậy \(S_{max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)
11 tháng 10 2020
Áp dụng bđt : \(xy+yz+xz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)(1)
CM bđt đúng: Từ (1) => 3xy + 3yz + 3xz \(\le\)x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
<=> 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2xz \(\ge\)0
<=> (x - y)2 + (y - z)2 + (x - z)2 \(\ge\)0 (luôn đúng với mọi x;y;z)
Khi đó: P = \(ab+bc+ac\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1
Vậy MaxP = 3 khi a = b = c = 1
KN
11 tháng 10 2020
Ta có đánh giá quen thuộc sau: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Leftrightarrow\)\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)*đúng*
Áp dụng, ta được: \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2022
\(S=ab+2\left(a+b\right)\le\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)+2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}=\dfrac{1}{2}+2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)