cho các số a,b,c thỏa mãn: a+b+c=3/2
CMR: a2+b2+c2=3/2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 6 2023
\(\)Ta có: \(a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)
Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca;c^2-a^2-b^2=2ab\)
\(P=...=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)
----
Bổ đề \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\)
Ở đây ta c/m chiều thuận:
Với \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(QED)\)
NA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 8 2021
Đặt \(P=\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}+\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}+\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\)
Ta có: \(\dfrac{a^3}{a^2+b^2+ab}=a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2+ab}\ge a-\dfrac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^3b^3}}=a-\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{2a-b}{3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b^3}{b^2+c^2+bc}\ge\dfrac{2b-c}{3}\) ; \(\dfrac{c^3}{c^2+a^2+ca}\ge\dfrac{2c-a}{3}\)
Cộng vế:
\(P\ge\dfrac{a+b+c}{3}=673\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=673\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 5 2023
Trước hết, với \(a+b+c=1\) ta có:
\(a^2+b^2+c^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a^3+ab^2\right)+\left(b^3+bc^2\right)+\left(c^3+ca^2\right)+a^2b+b^2c+c^2a\)
\(\ge2a^2b+2b^2c+2c^2a+a^2b+b^2c+c^2a\)
Hay \(a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)
Từ đó:
\(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}=\dfrac{a^4}{a^2b}+\dfrac{b^4}{b^2c}+\dfrac{c^4}{c^2a}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)
\(\ge\dfrac{3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2b+b^2c+c^2a}=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 8 2021
\(9=3a^2+2b^2+2bc+2c^2=\left(a+b+c\right)^2+2a^2+b^2+c^2-2a\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow9\ge\left(a+b+c\right)^2+2a^2+\dfrac{1}{2}\left(b+c\right)^2-2a\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow9\ge\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(2a-b-c\right)^2\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow-3\le a+b+c\le3\)
\(T_{max}=3\) khi \(a=b=c=1\)
\(T_{min}=-3\) khi \(a=b=c=-1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 2 2021
Đặt \(P=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=6\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
\(a+b+c=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{9}{4}-2\left(ab+bc+ca\right)\)
Mặt khác:
Ta sẽ c/m \(\frac{9}{4}-2\left(ab+bc+ca\right)=\frac{3}{2}\) (1)
\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)=\frac{9}{4}-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow4\left(ab+bc+ca\right)=\frac{3}{2}=a+b+c\)
Suy ra \(ab+bc+ca=\frac{a+b+c}{4}\)
Do đó:
\(=\frac{9}{4}-2\left(\frac{a+b+c}{4}\right)=\frac{9}{4}-2\left(\frac{\left(\frac{3}{2}\right)}{4}\right)=\frac{9}{4}-2.\frac{3}{8}=\frac{3}{2}\) (2)
Từ (2) suy ra (1) đúng.
Do (1) đúng: suy ra: \(a^2+b^2+c^2=\frac{9}{4}-2\left(ab+bc+ca\right)=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Mình ghi thiếu một chỗ nên có nhiều bạn không hiểu: Chỗ hàng thứ 4 từ dưới đếm lên cho đến hết,bạn sửa thành:
"Do đó:
\(\frac{9}{4}-2\left(ab+bc+ca\right)=\frac{9}{4}-2\left(\frac{a+b+c}{4}\right)\)
\(=\frac{9}{4}-2\left(\frac{\left(\frac{3}{2}\right)}{4}\right)=\frac{9}{4}-2.\frac{3}{8}=\frac{3}{2}\) (2)
Từ (2) suy ra (1) đúng suy ra \(a^2+b^2+c^2=\frac{9}{4}-2\left(ab+bc+ca\right)=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)"