Chứng minh rằng với mọi số x,y ta có : x^5y-xy^5 chia hết cho 30
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
12 tháng 2 2016
Ta có: x5y-xy5=xy(x4-y4)=xy(x2-y2)(x2+y2)
=xy(x-y)(x+y)(x2+y2)
Ta cần cm bt trên chia hết cho 2,3 và 5
Nếu x,y cùng tính chẵn lẻ thì x-y chẵn=> x5y-xy5 chia hết cho 2 (1)
Nếu x,y không cùng tính chẵn lẻ thi x+y chẵn=>2 (2)
Từ (1) và (2)=> x5y-xy5 chia hết cho 2 với mọi x,y nguyên (13)
Nếu x hoặc y chia hết cho 3=>x5y-xy5 chia hết cho 3 (3)
Nếu x và y chia 3 có cùng số dư thì x-y chia hết cho 3=>x5y-xy5 chia hết cho 3 (4)
Nếu x,y chia 3 không cùng số dư thi x+y chia hết cho 3=>x5y-xy5 chia hết cho 3 (5)
Từ (3),(4) và (5)=>x5y-xy5 chia hết cho 3 với mọi x,y nguyên (14)
Nếu x hoặc y chia hết cho 5 thì x5y-xy5 chia hết cho 5 (6)
Nếu x chia 5 dư 1, y chia 5 dư 2 và ngược lại thì x2+y2 chia hết cho 5
=>x5y-xy5 chia hết cho 5 (7)
Nếu x chia 5 dư 2, y chia 5 dư 3
và ngược lại thì x+y chia hết cho 5
=>x5y-xy5 chia hết cho 5 (8)
Nếu x chia 5 dư 3, y chia 5 dư 4 và ngược lại thì
x2+y2 chia hết cho 5
=>x5y-xy5 chia hết cho 5 (9)
Nếu x chia 5 dư 1, y chia 5 dư 4 và ngược lại thì x+y chia hết cho 5
=>x5y-xy5 chia hết cho 5 (10)
Nếu x chia 5 dư 1, y chia 5 dư 3 và ngược lại thì x2+y2 chia hết cho 5
=>x5y-xy5 chia hết cho 5 (11)
Nếu x chia 5 dư 2, y chia 5 dư 4 và ngược lại thì x2+y2 chia hết cho 5
=>x5y-xy5 chia hết cho 5 (12)
Từ (6),(7),(8),(9),(10),(11)và (12)
=> x5y-xy5 chia hết cho 5 với mọi x,y nguyên (15)
Từ (13),(14) và (15) Mà (3;4;5)=1
=>x5y-xy5 chia hết cho 30 với mọi x,y nguyên
=>đpcm
DK
21 tháng 1 2019
Bài 1:
x5y-xy5=xy(x4-y4)=xy(x4-1+y4+1)
=xy(x4-1)-xy(y4-1)=xy(x2-1)(x2+1)-xy(y2-1)(y2+1)
=xy(x-1)(x+1)(x2+1)-xy(y-1)(y+1)(y2-1)
Mà:xy(x-1)(x+1)(x2+1) chia hết 2;3;5
=>xy(x-1)(x+1)(x2+1) chia hết cho 30
Cmtt:xy(y-1)(y+1)(y2+1) chia hết cho 30
Nên x5y-xy5 chia hết cho 30
DK
21 tháng 1 2019
Bài 2:
x2+y2+z2=y(x+z)
<=>x2+y2+z2-yx-yz=0
<=>2x2+2y2+2z2-2yx-2yz=0
<=>(x – y)2 + (y – z)2 + x2 + z2 = 0
<=>x – y = y – z = x = z = 0
<=>x=y=z=0
KV
8 tháng 9 2023
a) x(x² + x) + x(x + 1)
= x²(x + 1) + x(x + 1)
= (x + 1)(x² + x)
= x(x + 1)² ⋮ (x + 1)
b) xy² - yx² + xy
= xy(y - x + 1) ⋮ xy
17 tháng 9 2016
Đặt A = 2x + 3y; B = 9x + 5y
Xét biểu thức: 9A - 2B = 9.(2x + 3y) - 2.(9x + 5y)
= (18x + 27y) - (18x + 10y)
= 18x + 27y - 18x - 10y
= 17y
+ Nếu A chia hết cho 17 thì 9A chia hết cho 17; 17y chia hết cho 17
=> 2B chia hết cho 17
Mà (2;17)=1 => B chia hết cho 17
+ Nếu B chia hết cho 17 thì 2B chia hết cho 17; 17y chia hết cho 17 => 9A chia hết cho 17
Mà (9;17)=1 => A chia hết cho 17
Vậy với mọi x,y thuộc Z ta có: 2x + 3y chia hết cho 17 <=> 9x + 5y chia hết cho 17 (đpcm)
DT
1
20 tháng 10 2015
a) a,2x+6y chia hết cho 2
= 2(x+3y ) chia hết cho 2 vì 2 chia hết cho 2 nên 2 nhân với sô nào cũng chia hết cho 2
b,5x+10y chia hết cho 5
= 5(x+2y) chia hết cho 5 vì 5 chia hết cho 5 nên 5 nhân với sô nào cũng chia hết cho 5
NT
1
10 tháng 4 2017
\(A=x^5y-xy^5=xy\left(x^4-y^4\right)=xy\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2\right)=xy\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(A=xy\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\)
Thây vì c/m A chia hết cho 30 ta chia nhỏ 30 =2.3.5
1)c/m A chia hết cho
1.1)nếu x hoặc y chẵn hiển nhiên
1.2 x và y lẻ => x-y phải chẵn {tổng đại số hai số lẻ là số chẵn}
=> A chia hết cho 2
2)c/m A chia hết cho 3
2.1)nếu x hoặc y =3k hiển nhiên
2.2 x=3k+1 và y=3t+1 => (x-y)=3(k-t) hiển nhiên chia hết cho 3
2.3 x=3k+1 và y=3t+2 => (x+y) =3(k+t+1) hiển nhiên chia hết cho 3
x,y vai trò như nhau => A chia hết cho 3 (**)
3)
c/m A chia hết cho 5
3.1)nếu x hoặc y =5k hiển nhiên
3.2 x=5k+1 và y=5t+1 => (x-y)=5(k-t) hiển nhiên chia hết cho 5
3.3 x=5k+1 và y=5t+2 => (x^2+y^2) =5(5k^2+5t^2+2k+2t+1) hiển nhiên chia hết cho 5
3.4 x=5k+1 và y=5t+3 => (x^2+y^2) =5(5k^2+5t^2+2k+2t+2) hiển nhiên chia hết cho 5
3.5 x=5k+1 và y=5t+4 => (x^2-y^2) =5(5k^2-5t^2-2k+2t-3) hiển nhiên chia hết cho 5
x,y vai trò như nhau các trường hợp khác tương tự => A chia hết cho 5 (**)
Kết luận
A chia hết cho 2,3,5 mà 2,3,5, nguyên tố => A chia hết cho 2.3.5 =30=> dpcm
10 tháng 4 2017
p/s: có thể phân tích tiếp A --> biện luận luôn cho dài => trông bài cho hoàng tráng
13 tháng 10 2015
Ta có :
2x + 6y = 2x + 2.3y = 2.(x + 3y) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên x và y
DV
13 tháng 10 2015
Ta có:
2x + 6y = 2.3y.(x + 3y) chia hết cho mọi số tự nhiên x và y
\(x^5y-xy^5=xy\left(x^4-y^4\right)\)
\(=xy\left(x^4-1+1-y^2\right)\)
\(=xy\left(x^4-1\right)-xy\left(y^4-1\right)\)
\(=xy\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)-xy\left(y^2-1\right)\left(y^2+1\right)\)
\(=xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)-xy\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)\)
Xét \(xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-4+5\right)\)
\(=xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-4\right)+5xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)
\(=y.\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)+5y\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\)
Do x-2 ; x-1 ; x ; x+1 ; x+2 là 5 số liên tiếp
\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮2;3;5\)
Mà (2;;3;5) = 1
\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮\left(2.3.5=30\right)\)
\(\Rightarrow y\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮30\)
Lại có \(5\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮2;3;5\Rightarrow5\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮30\)
\(\Rightarrow5y\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮30\)
Do đó \(y\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)-5y\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮30\)
\(\Rightarrow xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)⋮30\)
Tương tự \(xy\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)⋮30\)
\(\Rightarrow xy\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)-xy\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)⋮30\)
\(\Rightarrow x^5y-xy^5⋮30\)