Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng : a√b - 1 + b√a - 1 ≤ ab
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
FF
28 tháng 8 2016
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
3 tháng 5 2019
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
LN
2
29 tháng 11 2015
a) Gọi (a,a-b)=d
=> a chia hết cho d ; a-b chia hết cho d
=> a-(a-b) chia hết cho d
=>b chia hết cho d
=>d\(\in\)ƯC(a,b)
Mà (a,b)=1=>d=1
=>(a,a-b)=1 (đpcm)
29 tháng 11 2015
Đặt ước chung nguyên tố lớn nhất của ab và a+b là d .
=>
ab :/ d ( :/ là kí hiệu chia hết của rieng tui ) =>
[ a :/ d ( do d nguyên tố ) , mà a+b :/d => b :/ d
[ b :/ d ......................... , mà a+ b :/d => a:/d
tóm lại cả a và b đều chia hết cho d . d nguyên tố => d >1 => ( a ,b ) > 1 . Vô lý
=> d =1
Vậy ( ab , a+b ) =1
Lưy ý: :/ là chia hết
NT
9
3 tháng 10 2015
a,gọi d là ƯC nguyên tố của (a;a-b).theo bài ra ta có:
a chia hết cho d
a-b chia hết cho d
=>b chia hết cho d
=>ƯCLN(a;b)>1(trái giả thuyết)
=>(a;a-b)=1
=>đpcm
b,gọi d là ƯC nguyên tố của ab;a+b.theo bài ra ta có:
ab chia hết cho d
=>a hoặc b chia hết cho d
mà a+b chia hết cho d
=>2 số a;b chia hết cho d
=>(a;b)>1(trái giả thuyết)
=>(ab;a+b)=1
=>đpcm
O
0
NT
2
30 tháng 10 2018
a) Đặt (a, a - b) = d \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a⋮d\\a-b⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow a-\left(a-b\right)=b⋮d\Rightarrow d\inƯC\left(a,b\right)\Rightarrow d=1\) (đpcm)
30 tháng 10 2018
b) Giả sử ab và a + b cùng chia hết cho một số nguyên tố d.
Vì ab \(⋮\) d nên trong hai số a và b có một số chia hết cho d. Không mất tính tổng quát giả sử \(a⋮d\Rightarrow a+b-a⋮d\Rightarrow b⋮d\Rightarrow d\inƯC\left(a,b\right)\Rightarrow d=1\)(đpcm)
30 tháng 3 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(a^2+b^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{1+1}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b
30 tháng 3 2021
úi xin lỗi bài kia thiếu ._. Đẳng thức xảy ra <=> a=b=1/2 nhé
2. Ta có : a3 + b3 + ab = ( a + b )( a2 - ab + b2 ) + ab
= a2 - ab + b2 + ac = a2 + b2 ( do a+b=1 )
Sử dụng kết quả ở bài trước ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=1/2
\(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}-1\)
\(=a\sqrt{1.\left(b-1\right)}+b\sqrt{1.\left(a-1\right)}\le a\dfrac{1+b-1}{2}+b\dfrac{1+a-1}{2}=\dfrac{ab}{2}+\dfrac{ab}{2}=ab\)dấu "=" xảy ra khi a=b=2