Chứng minh: \(\frac{a^{2010}+2010}{\sqrt{a^{2010}+2009}}>2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
1
8 tháng 11 2014
Lấy vế trái trừ vế phải ta có:
\(\frac{2010}{\sqrt{2009}}+\frac{2009}{\sqrt{2010}}-\sqrt{2009}-\sqrt{2010}=\)\(\frac{2010}{\sqrt{2009}}+\frac{2009}{\sqrt{2010}}-\frac{2009}{\sqrt{2009}}-\frac{2010}{\sqrt{2010}}\)=\(\frac{1}{\sqrt{2009}}-\frac{1}{\sqrt{2010}}\) (1)
2009<2010 lên biểu thức (1) >0
K
21 tháng 2 2019
- TA CÓ A>\(\frac{2010}{2009^2+1+2008}\) +\(\frac{2010}{2009^2+2+2007}\) +...+\(\frac{2010}{2009^2+2009}\) \(\Rightarrow\)A>2009.\(\frac{2010}{2009^2+2009}\)\(\Rightarrow\)A>\(\frac{2009.2010}{2009.2010}\) \(\Rightarrow\) A>1 (1) 2.TA CÓ A<\(\frac{2010}{2009^2}\) +\(\frac{2010}{2009^2}\) +...+\(\frac{2010}{2009^2}\) \(\Rightarrow\) A<2009.\(\frac{2010}{2009^2}\) \(\Rightarrow\) A<\(\frac{2010}{2009}\) <2 \(\Rightarrow\) A<2 (2) TỪ (1) VÀ (2) SUY RA 1<A<2 .VẬY A KHÔNG PHẢI SỐ NGUYÊN DƯƠNG (dpcm)
S
30 tháng 7 2019
\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+........+\frac{1}{2010\sqrt{2009}+2009\sqrt{2010}}=\frac{1}{\sqrt{1}\sqrt{2}\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{3}\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+........+\frac{1}{\sqrt{2009}\sqrt{2010}\left(\sqrt{2009}+\sqrt{2010}\right)}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{2010}-\sqrt{2009}\right)\left(\sqrt{2010}+\sqrt{2009}\right)}{\sqrt{2009}\sqrt{2010}\left(\sqrt{2010}+\sqrt{2009}\right)}+.......+\frac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}{\sqrt{2}\sqrt{1}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)}=1-\frac{1}{\sqrt{2010}}=1-\frac{\sqrt{2010}}{2010}\)
AQ
1
CT
21 tháng 4 2019
A=\(\frac{a^{2010}+2009+1}{\sqrt{a^{2010}+2009}}\)
=\(\sqrt{a^{2010}+2009}+\frac{1}{\sqrt{a^{2010}+2009}}\)
Áp dụng bdt cosi cho 2 số ko âm
ta đc: A >= @
dấu = xảy ra khi a^2010+2009=1
a^2010=-2008( vô lý)
=> dấu = ko xảy ra
vậy A>2
LP
0
CH
0
5 tháng 5 2019
\(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+\frac{1}{43}+.....+\frac{1}{80}\)
\(=\left(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+\frac{1}{43}+\frac{1}{44}+.....+\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+......+\frac{1}{80}\right)\)
\(>\left(\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+\frac{1}{60}+.....+\frac{1}{60}\right)+\left(\frac{1}{80}+\frac{1}{80}+\frac{1}{80}+.....+\frac{1}{80}\right)\)
\(=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\)
\(=\frac{7}{12}\)
5 tháng 5 2019
\(B=\frac{2008+2009+2010}{2009+2010+2011}=\frac{2008}{2009+2010+2011}+\frac{2009}{2009+2010+2011}+\frac{2010}{2009+2010+2011}\)
\(< \frac{2008}{2009}+\frac{2009}{2010}+\frac{2010}{2011}=A\)
TA
1 tháng 7 2017
Từ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2010}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{2010}\)
\(\Leftrightarrow2010x-xy+2010y-2010^2=-2010^2\)
\(\Leftrightarrow x\left(2010-y\right)+2010\left(y-2010\right)=-2010^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2010\right)\left(y-2010\right)=2010^2\)
Ta có \(\left(\sqrt{x-2010}+\sqrt{y-2010}\right)^2\)
\(=\left(x-2010\right)+\left(y-2010\right)+2\sqrt{\left(x-2010\right)\left(y-2010\right)}\)
\(=x+y-2.2010+2\sqrt{2010^2}=x+y\)
Do đó \(x+y=\left(\sqrt{x-2010}+\sqrt{y-2010}\right)^2\)
mà x, y > 0 nên \(\sqrt{x+y}=\sqrt{x-2010}+\sqrt{y-2010}\)
11 tháng 7 2017
Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk,c=dk\)
Vậy:
\(\frac{a\cdot c}{b\cdot d}=\frac{bk\cdot dk}{b\cdot d}=\frac{k^2\cdot\left[b\cdot d\right]}{b\cdot d}=k^2\)
và
\(\frac{2009a^2+2010c^2}{2009b^2+2010d^2}=\frac{2009\left[bk\right]^2+2010\left[dk\right]^2}{2009b^2+2010d^2}=\frac{2009\cdot b^2k^2+201d^2k^2}{2009b^2+2010d^2}=\frac{k^2\left[2009b^2+2010d^2\right]}{2009b^2+2010d^2}=k^2\)Vậy khi \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{ac}{bd}=\frac{2009a^2+2010c^2}{2009b^2+2010d^2}\)
đặt a^2010+2009=b
\(\Rightarrow\frac{b+1}{\sqrt{b}}\)
ta có : b+1\(\ge\)2\(\sqrt{b}\) ( cô - si)
\(\frac{b+1}{\sqrt{b}}\ge2\)
dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow b=1\)
\(\Rightarrowđpcm\)