chứng minh x2+y2\(\ge\)\(\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
làm 2 cách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
CMR : a) Có thể tìm được số có dạng 199119911991...19910...0 chia hết cho 1992
Help
Bài dễ mừ, có phải Croatia thật ko vậy :)) (viết đề bị nhầm, là x,y,z dương chứ :))
Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu số:
\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge\)
\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+z\right)\left(y+x\right)+\left(z+x\right)\left(z+y\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\)
Xét \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{4}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z, Xong! :))
dùng bđt phụ \(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{a+b}\) với bđt Cô-si nhé
\(ta\)\(có\)\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow2\left(X^2+Y^2\right)\ge2XY+X^2+Y^2=\left(X+Y\right)^2\)
\(\Rightarrow X^2+Y^2\ge\frac{\left(X+Y\right)^2}{2}\)
Cách 1 :
\(x^2+y^2=\frac{x^2+y^2+x^2+y^2}{2}=\frac{\left(x^2+y^2+2xy\right)+\left(x^2+y^2-2xy\right)}{2}\)
\(=\frac{\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2}{2}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\) (vì \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
Cách 2:
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+2xy+y^2\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) ( BĐT đúng)
Do đó \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\) là BĐT đúng.
Thêm một cách khác:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
Ta có: \(x^2+y^2=\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{1+1}=\frac{\left(x+y\right)^2}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{x^2}{1}=\frac{y^2}{1}\) hay \(x^2=y^2\) hay \(x=y\)