cho a,b>0 và a+b<1 hoặc a+b=1. tìm min của M sao cho M=ab+1/ab
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ML
8 tháng 8 2015
Một số bất đẳng thức thường được dùng (chứng minh rất đơn giản)
Với a, b > 0, ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" của các bất đẳng thức trên đều xảy ra khi a = b.
Phân phối số hạng hợp lí để áp dụng Côsi
\(1\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+\frac{2}{\left(a+b\right)^2}\)
\(\ge6\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1/2.
\(2\text{) }P\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge4\)
\(3\text{) }P=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+4ab+\frac{1}{4ab}\)
\(\ge\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4ab}.4ab}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\ge1+2+1=4\)
VQ
1
16 tháng 7 2020
\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{16}\)
Ta có: \(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}+ab\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{3}{2ab}+384ab-383ab\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{\frac{3}{2ab}.384ab}-383.\frac{1}{16}\)
\(=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2.24-\frac{383}{16}=\frac{641}{16}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 1/4
W
2
DH
15 tháng 7 2017
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(ab+\dfrac{1}{ab}\ge2\sqrt{ab.\dfrac{1}{ab}}\)
\(\Rightarrow ab+\dfrac{1}{ab}\ge2.\sqrt{1}=2.1=2\)
Dâu "=" sảy ra khi và chỉ khi \(a=b=1\)
Vậy GTNN của biểu thức là 2 đạt được khi và chỉ khi \(a=b=1\)
Chúc bạn học tốt!!!
15 tháng 7 2017
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(1\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow1\ge4ab\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}\ge ab\)
\(S=ab+\dfrac{1}{ab}=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16ab}\ge2\sqrt{ab.\dfrac{1}{16ab}}+\dfrac{15}{16ab}\) \(\Leftrightarrow S\ge2.\dfrac{1}{4}+\dfrac{15}{16ab}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16ab}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{16.\dfrac{1}{4}}=\dfrac{17}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)