a,b,c>0, a+b+c=3. CMR
\(\frac{a}{a^2+b+c}+\frac{b}{b^2+c+a}+\frac{c}{c^2+a+b}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 11 2019
a)\(VT=\sum_{cyc}\frac{ab^3+ab^2c+a^2bc}{\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)}\le\frac{\sum_{cyc}\left(ab^3+ab^2c+a^2bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)\(\le\frac{\sum_{cyc}ab\left(a^2+b^2\right)+abc\left(a+b+c\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=VP\)
13 tháng 7 2017
Ta có:
\(a^3+a^3+1+b^3+b^3+1+c^3+c^3+1\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\le3+3+3=9\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le3\)
Giả sử: \(a\ge b\ge c\)
Ta cần chứng minh.
\(\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\le1\)
\(\Leftrightarrow a^2c+c^2b+b^2a+2\left(a^2+b^2+c^2\right)-abc-8\le0\)
Ta có:
\(a^2c+c^2b+b^2a+2\left(a^2+b^2+c^2\right)-abc-8\)
\(\le a^2c+c^2b+b^2a-abc-2\)
\(\le a^2c+b^2c+b\left(3-a^2-b^2\right)-abc-2\)
\(=-\left(b-1\right)^2\left(b+2\right)-a\left(b-c\right)\left(a-b\right)\le0\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
31 tháng 7 2019
1. BĐT ban đầu
<=> \(\left(\frac{1}{3}-\frac{b}{a+3b}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{c}{b+3c}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{a}{c+3a}\right)\ge\frac{1}{4}\)
<=>\(\frac{a}{a+3b}+\frac{b}{b+3c}+\frac{c}{c+3a}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(\frac{a^2}{a^2+3ab}+\frac{b^2}{b^2+3bc}+\frac{c^2}{c^2+3ac}\ge\frac{3}{4}\)
Áp dụng BĐT buniacoxki dang phân thức
=> BĐT cần CM
<=> \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)luôn đúng
=> BĐT được CM
31 tháng 7 2019
2) \(a+b+c\le ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^2-3\left(a+b+c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)\left(a+b+c-3\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\ge3\)
ko mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\)
Có: \(3\le a+b+c\le ab+bc+ca\le3a^2\)\(\Leftrightarrow\)\(3a^2\ge3\)\(\Leftrightarrow\)\(a\ge1\)
=> \(\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{1+c+a}\le\frac{3}{1+2a}\le1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
13 tháng 5 2019
Vì vai trò của a,b,c như nhau,không mất tính tổng quát ta có:\(a\le b\le c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-1\le0\\b-1\le0\\c-1\le0\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\frac{a^2}{a^2+b^5+c^5}\le\frac{a^2}{3\sqrt[3]{a^2b^5c^5}}=\frac{a^2}{3bc}\)
Tương tự:\(\frac{b^2}{b^2+a^5+c^5}\le\frac{b^2}{3ac};\frac{c^2}{c^2+a^5+b^5}\le\frac{c^2}{3ab}\)
Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta đươc:
\(\frac{a^2}{a^2+b^5+c^5}+\frac{b^2}{b^2+a^5+c^5}+\frac{c^2}{c^2+a^5+b^5}\le\frac{a^2}{3bc}+\frac{b^2}{3ac}+\frac{c^2}{3ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\)
Xét \(a^3+b^3+c^3\le3\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-1\right)+\left(b^3-1\right)+\left(c^3-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)+\left(b-1\right)\left(b^2+b+1\right)+\left(c-1\right)\left(c^2+c+1\right)\le0\) (đúng)
Từ đó suy ra:
\(\frac{a^2}{a^2+b^5+c^5}+\frac{b^2}{b^2+a^5+c^5}+\frac{c^2}{c^2+a^5+b^5}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\le\frac{3}{3}=1\left(đpcm\right)\)
Dấu '='xảy ra khi\(\hept{\begin{cases}a=b=c\\abc=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1}\)
TN
2 tháng 7 2016
Bài 1:
Đặt \(a^2=x;b^2=y;c^2=z\)
Ta có:\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\le\frac{3}{\sqrt{2}}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\frac{4x\left(x+y+z\right)}{3\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{3\left(x+z\right)}{2\left(x+y+z\right)}\right]\)
Tương tự với \(\sqrt{\frac{y}{y+z}}\)và \(\sqrt{\frac{z}{z+x}}\)
Cộng lại ta được:
\(\frac{\sqrt{2}}{3}\left[\frac{x\left(x+y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y\left(x+y+z\right)}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z\left(x+y+z\right)}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]+\frac{3}{2\sqrt{2}}\le\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
Sau đó bình phương hai vế rồi
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)đẳng thức đúng
Vậy...
Bài 2:
Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\le\frac{1}{3}\)
Nhân cả hai vế bđt với 4(a+b+c)4(a+b+c) rồi thu gọn ta được bđt sau:
\(\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+c}+\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}+\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}\)\(\le\frac{4}{3}\left(a+b+c\right)\)
\(\left[\frac{4a\left(a+b+c\right)}{4a+4b+}-a\right]+\left[\frac{4b\left(a+b+c\right)}{4b+4c+a}-b\right]+\left[\frac{4c\left(a+b+c\right)}{4c+4a+b}-c\right]\le\frac{a+b+c}{3}\)
\(\frac{ca}{4a+4b+c}+\frac{ab}{4b+4c+a}+\frac{bc}{4c+4a+b}\le\frac{a+b+c}{9}\)
Áp dụng bđt cauchy-Schwarz ta có \(\frac{ca}{4a+4b+c}=\frac{ca}{\left(2b+c\right)+2\left(2a+b\right)}\)\(\le\frac{ca}{9}\left(\frac{1}{2b+c}+\frac{2}{2a+b}\right)\)
Từ đó ta có:
\(\text{∑}\frac{ca}{4a+4b+c}\le\frac{1}{9}\text{∑}\left(\frac{ca}{2b+c}+\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ca}{2a+b}\right)\)\(=\frac{1}{9}\left(\text{ ∑}\frac{ca}{2b+c}+\text{ ∑}\frac{2ab}{2b+c}\right)=\frac{a+b+c}{9}\)
Đặt VT=A rồi áp dụng bđt cauchy-Schwarz cho VT ta có
\(T^2\le3\left(\frac{a}{4a+4b+c}+\frac{b}{4b+4c+a}+\frac{c}{4c+4a+b}\right)\)\(\le3\cdot\frac{1}{3}=1\Leftrightarrow T\le1\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c
c bạn tự làm nhé mình mệt rồi :D
6 tháng 10 2020
Mình xem phép làm câu 1 ạ.
Đề là?
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\)(1)
Chứng minh tương đương
\(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4\)<=> 12ac - 9bc - 9ab + 6b2 \(\le\)0 ( quy đồng ) (2)
Từ (1) <=> 2ac = ab + bc Thay vào (2) <=> 6ab + 6bc - 9bc - 9ab + 6b2 \(\le\)0
<=> a + c \(\ge\)2b
Từ (1) => \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+c}\)
=> a + c \(\ge\)2b đúng => BĐT ban đầu đúng
Dấu "=" xảy ra <=> a = c = b
N
4
S
14 tháng 10 2018
Áp dụng bđt cauchy dạng engel ta có:
\(\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{c^2+a^2+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2+1+1+1}\)
\(=\frac{9}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\le\frac{9}{2\left(ab+bc+ca\right)+3}=\frac{9}{2.3+3}=1\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c