CMR: với a,b dương thì\(\sqrt{a+b<}\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
0
BH
1
6 tháng 11 2018
Nhận thấy \(a+b< a+b+2\sqrt{ab}\)<=>\(a+b< \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)
Do a,b đều dương, lấy căn 2 vế ta được:
\(\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)(đpcm)
Chúc bạn học tốt!
LH
1
26 tháng 2 2020
Vẽ hình tam giác có hai cạnh góc vuông \(\sqrt{a}\)và \(\sqrt{b}\), độ dài cạnh huyền là c.
Áp dụng định lý Pytago ta có: \(\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2=a+b=c^2\)
\(\Rightarrow c=\sqrt{a+b}\)
Theo bất đẳng thức tam giác thì: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>c=\sqrt{a+b}\left(đpcm\right)\)
NT
1
1 tháng 4 2020
Theo bài ra có có a>b>0 nên \(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{a-b}\)đều xác định và dương
Ta có: \(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\)là số dương
\(\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right)^2=a-b+2\sqrt{b\left(a-b\right)}+b=a+2\sqrt{b\left(a-b\right)}\)
Thấy \(2\sqrt{b\left(a-b\right)}>0\)nên \(\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right)^2>a\left(1\right)\)
Ta có \(\sqrt{a}\)là số không âm và \(\left(\sqrt{a}\right)^2=a\left(2\right)\)
Từ (1)(2) => \(\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right)^2>\left(\sqrt{a}\right)^2\left(3\right)\)
Từ (3) theo định lý so sánh các căn bậc 2 số học
=> \(\sqrt{\left(\sqrt{a-b}+\sqrt{b}\right)^2}>\sqrt{\left(\sqrt{a}\right)^2}\)
\(\orbr{\begin{cases}\left|\sqrt{a-b}+b\right|>\left|\sqrt{a}\right|\\\sqrt{a-b}+\sqrt{b}>\sqrt{a}\end{cases}}\)
=> ĐPCM
NM
1
G
21 tháng 7 2019
\(\sqrt{a+c}-\sqrt{a}< \sqrt{b+c}-\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a+c}+\sqrt{b}< \sqrt{b+c}+\sqrt{a}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a+c}+\sqrt{b}\right)^2< \left(\sqrt{b+c}+\sqrt{a}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+2\sqrt{ab+bc}< a+b+c+2\sqrt{ab+ac}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{ab+bc}< 2\sqrt{ab+ac}\Leftrightarrow\sqrt{ab+bc}< \sqrt{ab+ac}\)(đúng vs a>b) .Vậy bđt cần cm đúng
17 tháng 6 2017
\(\left(\sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c}\right)^2\)
\(\le3\left(1-a+1-b+1-c\right)=3.\left(3-1\right)=6\)
\(\Rightarrow\sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c}\le\sqrt{6}\)
NT
1
KT
2 tháng 8 2019
ta có \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=a-2\sqrt{ab}+b\)
\(=a-b-2\sqrt{ab}+2b\)
\(=a-b-2\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
VÌ a>b>0 NÊN \(\sqrt{a}-\sqrt{b}>0\)
suy ra : \(a-b-2\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< a-b\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2< \left(\sqrt{a-b}\right)^2\)
VẬY \(\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\left(đ.p.c.m\right)\)
\(0<2\sqrt{ab}\) cộng 2 vế với a+ b
a+b< a+b+ 2.căn(ab)
\(a+b<\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)
lấy căn 2 vế là xong