Cho a,b>0 và \(a+\frac{1}{b}\le1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M :\(M=\frac{a^2+b^2}{ab}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
31 tháng 5 2018
Ta thấy: \(a+b\le1\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a\le1-b\\b\le1-a\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1+a\le2-b\\1+b\le2-a\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{1+b}\ge\frac{a}{2-a}\\\frac{b}{1+a}\ge\frac{b}{2-b}\end{cases}}\Rightarrow\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}\ge\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}\)
\(\Rightarrow S=\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+a}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{a}{2-a}+\frac{b}{2-b}+\frac{1}{a+b}\)
\(=\frac{2}{2-a}-1+\frac{2}{2-b}-1+\frac{1}{a+b}=\frac{2}{2-a}+\frac{2}{2-b}+\frac{1}{a+b}-2\)
\(=2\left(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}-1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức sau: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}\ge\frac{9}{4-\left(a+b\right)+2\left(a+b\right)}=\frac{9}{4+a+b}\)
Lại có: \(a+b\le1\Rightarrow4+a+b\le5\Rightarrow\frac{9}{4+a+b}\ge\frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}\ge\frac{9}{5}\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}-1\right)\ge\frac{8}{5}\)
\(\Rightarrow S\ge\frac{8}{5}.\)
Vậy \(Min_S=\frac{8}{5}.\)Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{2}{5}.\)
NL
14 tháng 5 2021
\(M=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{2}{ab}+4ab\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{4ab}+4ab+\frac{5}{4ab}\)
\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{1}{4ab}.4ab}+\frac{5}{4ab}\)
( Nếu đi thi thì sẽ phải chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) cái này nhân chéo và cô si là xong )
Ta có BĐT phụ: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( đúng )
\(\Rightarrow M\ge\frac{4}{1}+2+5=11\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=1/2
Vậy ...
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 4 2019
\(S=\frac{a^2}{a+ab}+\frac{b^2}{b+ab}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b+2ab}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b+\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{1}{1+\frac{1}{2}}+1=\frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow S_{min}=\frac{5}{3}\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
6 tháng 10 2019
\(A=\frac{2}{a^2+b^2}+\frac{35}{ab}+2ab\)
\(=2\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\frac{34}{ab}+\frac{17}{8}ab-\frac{1}{8}ab\)
\(\ge2.\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{\frac{34}{ab}.\frac{17}{8}ab}-\frac{1}{8}.\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow A\ge2.\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2.\frac{17}{2}-\frac{1}{8}.\frac{4}{4^2}+17-\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{1}{2}+17-\frac{1}{2}=17\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=2\)
Chúc bạn học tốt !!!