Cho a, b, c, d >0 thỏa mãn a > c+d, b > c+d
Chứng minh: ab> ad+ bc
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì abc>0 nên có ít nhất 1 số lớn hơn 0
Vai trò của a, b, c như nhua nên chọn a>0
TH1: b<0;c<0 \(\Rightarrow b+c>-a\Rightarrow\left(b+c\right)^2< -a\left(b+c\right)\\ \Rightarrow b^2+c^2+2bc< -ab-ac\\ bc+ab+ac< -b^2-c^2-bc=-\left(b^2+c^2+a^2\right)< 0\)(trái với giả thiết)
\(\Rightarrow\)TH2: b>0, c>0 thì a>0( luôn đúng)
Vậy a, b, c >0
\(\rightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+d}\)
\(\Rightarrow a.\left(b+d\right)>b.\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow ab+ad>ab+bc\)
\(\Rightarrow ad>bc\Leftrightarrow\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\)
\(\rightarrow\frac{a+c}{b+d}>\frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\left(a+c\right).d>\left(b+c\right).d\)
\(\Rightarrow ad+cd>bc+cd\)
\(\Rightarrow\frac{a}{d}>\frac{b}{c}\Leftrightarrow\frac{a}{b}>\frac{c}{d}\)
Lời giải:
Nếu $a\geq b$
Từ $b>c+d$
$\Rightarrow ba> ac+ad$. Mà $ac\geq bc$ do $a\geq b$
$\Rightarrow ba>bc+ad$ (1)
Nếu $a< b$
Từ $a>c+d$
$\Rightarrow ab>bc+bd$. Mà $bd> ad$ do $a< b$
$\Rightarrow ab>bc+ad$ (2)
Từ (1) và (2) ta có đpcm.