Question

[Lê Ánh Huyền]

Cho A = \(2\left(1^{2015}+2^{2015}+3^{2015}+...+n^{2015}\right)\). Biết n là số nguyên dương.
Chứng minh: A chia hết cho n(n+1)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

TH1: $n$ chẵn

Theo hằng đẳng thức đáng nhớ, với $2015$ lẻ và 2 số $a,b$ nguyên dương bất kỳ thì thì:\(a^{2015}+b^{2015}\vdots a+b\)

Áp dụng vào bài toán:

\(1^{2015}+n^{2015}\vdots n+1\)

\(2^{2015}+(n-1)^{2015}\vdots n+1\)

....

\(\left(\frac{n}{2}\right)^{2015}+\left(\frac{n}{2}+1\right)^{2015}\vdots n+1\)

\(\Rightarrow 1^{2015}+2^{2015}+...+n^{2015}\vdots n+1\)

\(\Rightarrow A=2(1^{2015}+2^{2015}+...+n^{2015})\vdots n+1\)

------------

Mặt khác, ta cũng có:

\(2[1^{2015}+(n-1)^{2015}]\vdots n\)

\([2^{2015}+(n-2)^{2015}]\vdots n\)

......

\(2\left(\frac{n}{2}\right)^{2015}=2\left(\frac{2k}{2}\right)^{2015}=2k^{2015}=\vdots (2k=n)\)

\(\Rightarrow 2(1^{2015}+2^{2015}+...+(n-1)^{2015})\vdots n\)

\(\Rightarrow A=2(1^{2015}+2^{2015}+...+(n-1)^{2015}+n^{2015})\vdots n\)

Vậy $A\vdots n$ và $A\vdots (n+1)$. Mà $(n,n+1)=1$ nên $A\vdots n(n+1)$

TH2: $n$ lẻ

Hoàn toàn tương tự, ghép cặp hợp lý ta cũng thu được $A\vdots n(n+1)$

Vậy ta có đpcm.