Chứng minh rằng :
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+ac+ad\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 9 2018
Lời giải:
Biến đổi tương đương:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\geq ab+ac+ad\)
\(\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2+2d^2\geq 2ab+2ac+2ad\)
\(\Leftrightarrow (\frac{a^2}{2}+2b^2-2ab)+(\frac{a^2}{2}+2c^2-2ac)+(\frac{a^2}{2}+d^2-2ad)+\frac{a^2}{2}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a^2+4b^2-4ab}{2}+\frac{a^2+4c^2-4ac}{2}+\frac{a^2+4d^2-4ad}{2}+\frac{a^2}{2}\geq 0\)
\(\Leftrightarrow \frac{(a-2b)^2}{2}+\frac{(a-2c)^2}{2}+\frac{(a-2d)^2}{2}+\frac{a^2}{2}\geq 0\)
(luôn đúng)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=0$
16 tháng 2 2021
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge ab+ac+ad+ae\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow4\left(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\right)\ge4a\left(b+c+d+e\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-4ab+4b^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)+\left(a^2-4ad+4d^2\right)+\left(a^2-4ac+4c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)^2+\left(a-2c\right)^2+\left(a-2d\right)^2+\left(a-2e\right)^2\ge0\)
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
DT
0
NM
Nguyễn Minh Quang
Giáo viên
7 tháng 2 2021
bài 1. ta có
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge ab+ac+ad\)
\(\Leftrightarrow b^2+ab+\frac{a^2}{4}+c^2+ac+\frac{a^2}{4}+d^2+ad+\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b+\frac{a}{2}\right)^2+\left(c+\frac{a}{2}\right)^2+\left(d+\frac{a}{2}\right)^2+\frac{a^2}{4}\ge0\) luôn đúng
Bài 2
ta có \(\frac{a^5}{b^5}+1+1+1+1\ge\frac{5.a}{b}\) (bất đẳng thức cauchy)
Tương tự ta có \(\frac{b^5}{c^5}+4\ge\frac{5b}{c};\frac{c^5}{a^5}+4\ge\frac{5c}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a^5}{b^5}+\frac{b^5}{c^5}+\frac{c^5}{a^5}\ge5\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-12\)
Mà dễ dàng chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\)
Nên ta có \(\Rightarrow\frac{a^5}{b^5}+\frac{b^5}{c^5}+\frac{c^5}{a^5}\ge5\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)-12\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
CH
7 tháng 2 2021
bài 1 : \(^{a^2+B^2+C^2+D^2}\)>hoặc =ab+ac+ad
\(^{a^2+b^2+c^2}\)- ab-ac-ad>hoặc = 0
\((\frac{1}{4}^{a^2-ab+b^2})+(\frac{1}{4}^{a^2-ac+c^2})+(\frac{1}{4}^{a^2-ad+d^2})\)>hoặc =0
\((\frac{1}{2}a-b)^2+(\frac{1}{2}a-c)^2+(\frac{1}{2}a-d)^2>=0\)
Vì \((\frac{1}{2}a-b)^2>=0\)với mọi \(A,b\varepsilon n\)
=> đpcm tự kết luận
TX
3
25 tháng 5 2019
BĐT\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2+3d^2+6\left(ab+bc+cd+da+bd+ca\right)\ge8\left(ab+bc+cd+da+bd+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2+3d^2-2\left(ab+bc+cd+da+bd+ca\right)\ge0\) (*)
Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+d^2\ge2cd\)
\(d^2+a^2\ge2da;b^2+d^2\ge2bd;c^2+a^2\ge2ca\)
Cộng theo vế các BĐT trên suy ra \(3a^2+3b^2+3c^2+3d^2\ge2\left(ab+bc+cd+da+bd+ca\right)\)
Do vậy BĐT (*) đúng hay ta có đpcm.
P/s: EM còn khá dốt BĐT,mong được các anh chị chỉ bảo cho ạ!
TN
7 tháng 3 2018
Cần cù bù thông minh ^^
\(BDT\Leftrightarrow\frac{1}{9}\left(-3a+b+c+d\right)^2+\frac{2}{9}\left(2b-c-d\right)^2+\frac{2}{3}\left(c-d\right)^2\ge0\)
Hihi mình phân tích hơi nham nhở thông cảm nha :(
11 tháng 9 2016
Ta có : \(\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\ge\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(a+b+c+d\right)^2\ge8\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+6\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\ge8\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(a^2-2ad+d^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(b^2-2bd+d^2\right)+\left(c^2-2cd+d^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2+\left(c-d\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
2 tháng 8 2017
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge ab+ac+ad+ae\)
Ta có :
\(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\)
\(=\left(\dfrac{a^2}{4}+b^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}+c^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}+d^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}+e^2\right)\)
Ta lại có :
\(\left(\dfrac{a}{2}-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow\) \(\dfrac{a^2}{4}-ab+b^2\ge0\) \(\dfrac{\Rightarrow a^2}{4}+b^2\ge ab\)
Tương tự :
\(\dfrac{a^2}{4}+c^2\ge ac\)
\(\dfrac{a^2}{4}+d^2\ge ad\)
\(\dfrac{a^2}{4}+e^2\ge ae\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a^2}{4}+b^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}+c^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}+d^2\right)+\left(\dfrac{a^2}{4}+e^2\right)\ge ab+ac+ad+ae\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\ge ab+ac+ad+ae\)
LD
29 tháng 12 2018
a.
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+ab^3+a^3b+b^4\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge ab^3+a^3b\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-ab^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(*)
Mà \(a^2+ab+b^2=\left(a^2+2\cdot a\cdot\dfrac{1}{2}b+\dfrac{b^2}{4}\right)+\dfrac{3b^2}{4}=\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2+\dfrac{3b^2}{4}\ge0\)
Suy ra (*) đúng => đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a = b
LD
29 tháng 12 2018
b.
\(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Leftrightarrow3a^4+3b^4+3c^4\ge a^4+ab^3+ac^3+a^3b+b^4+bc^3+a^3c+b^3c+c^4\)
\(\Leftrightarrow2a^4+2b^4+2c^4\ge ab^3+a^3b+b^3c+bc^3+ca^3+c^3a\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4+b^4\right)+\left(b^4+c^4\right)+\left(c^4+a^4\right)\ge\left(a^3b+ab^3\right)+\left(b^3c+bc^3\right)+\left(c^3a+ca^3\right)\)
Theo câu a. thì điều này đúng
Dấu "=" khi a=b=c
Đoán xem???