Chứng minh nếu a+b+c=5 thì \(\dfrac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}=5\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 6 2023
a) \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ac\right)\)
\(=a^3+ab^2+ac^2+a^2b+b^3+c^2b+a^2c+b^2c+c^3-a^2b-abc-a^2c-ab^2-b^2c-abc-abc-bc^2-ac^2\)
\(=a^3+b^3+c^3-3abc\left(đpcm\right)\)
b) Bạn chỉ cần nhân bung cả 2 vế ra là được á .
c) \(2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{b}{2}+\dfrac{c}{2}-\dfrac{a}{2}\right)\)
\(=2\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{b+c-a}{2}\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\)
\(=ab+ac-a^2+b^2+bc-ab+bc+c^2-ac\)
\(=2bc+b^2+c^2-a^2\left(đpcm\right)\)
K
6 tháng 8 2016
a) a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 = 2ab + 2ac + 2bc
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0
=> (a2 - 2ab + b2) + (a2 - 2ac + c2) + (b2 - 2bc + c2) = 0
=> (a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2 = 0
Do 3 hạng tử trên đều có giá trị lớn hơn hoặc bằng 0 nên a - b = a - c = b - c = 0
=> a = b = c
K
6 tháng 8 2016
b) a3 + b3 + c3 = 3abc
=> a3 + b3 + c3 - 3abc = 0
=> a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 + c3 - 3abc - 3a2b - 3ab2 = 0
=> (a + b)3 + c3 - 3ab(a + b + c) = 0
=> (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 - bc - ac + c2) - 3ab(a + b + c) = 0
=> (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac) = 0
=> a + b + c = 0
hoặc a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac => a = b = c
28 tháng 8 2015
a2+b2+c2=ab+ac+bc
<=>2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc
<=>a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc=0
<=>(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0
<=>a-b=0 và a-c=0 và b-c=0
<=>a=b=c
15 tháng 1 2019
\(ab+bc+ca=3abc\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Đặt \(\dfrac{1}{a}=x;\dfrac{1}{b}=y;\dfrac{1}{c}=z\)\(\Rightarrow x+y+z=3\)
\(VT=\sum\dfrac{xyz}{yz+x^2}\le\sum\dfrac{xyz}{2x\sqrt{yz}}=\dfrac{1}{2}\sum\sqrt{yz}\le\dfrac{1}{2}\sum x=\dfrac{3}{2}\)
NH
1
20 tháng 9 2018
a+b+c=0
=>(a+b+c)3=0
=>a3+b3+c3+3a2b+3ab2+3b2c+3bc2+3a2c+3ac2+6abc=0
=>a3+b3+c3+(3a2b+3ab2+3abc)+(3b2c+3bc2+3abc)+(3a2c+3ac2+3abc)-3abc=0
=>a3+b3+c3+3ab(a+b+c)+3bc(a+b+c)+3ac(a+b+c)=3abc
Do a+b+c=0
=>a3+b3+c3=3abc(ĐPCM)
22 tháng 3 2021
1) Áp dụng bất đẳng Bunyakovsky dạng cộng mẫu ta có:
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}=\frac{a^6}{abc}+\frac{b^6}{abc}+\frac{c^6}{abc}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\)
\(=\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}\ge\frac{3abc\left(a^3+b^3+c^3\right)}{3abc}=a^3+b^3+c^3\)
(Cauchy 3 số) Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c
22 tháng 3 2021
2) Áp dụng kết quả phần 1 ta có:
\(\frac{a^5}{bc}+\frac{b^5}{ca}+\frac{c^5}{ab}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{3abc}\ge\frac{\left(a^3+b^2+c^3\right)^2}{3\cdot\frac{1}{3}}=\left(a^3+b^3+c^3\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
26 tháng 3 2017
a)\(\dfrac{a}{b+c}< \dfrac{2a}{a+b+c}\) tương tự ta có ĐPCM
b)chính nó là BĐT Schur bậc 3 cách c/m nhiều vô kể
27 tháng 3 2017
b ơi giải đầy đủ giúp m đc ko?
còn câu b) thì c/m giúp m cách nào đó nha
m mới học phần này nên chưa chắc kiến thức lắm nên giúp m nha
\(\dfrac{a^3+b^3+c^3-3bac}{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}\)
\(=\dfrac{\left(a+b\right)^3+c^3-3ba\left(a+b\right)-3bac}{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)}{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}\)
=a+b+c
=5