tìm x,y,z biết \(\sqrt{x-a}+\sqrt{y-b}+\sqrt{z-c}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)trong đó a+b+c=3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VL
1
28 tháng 8 2018
Theo BĐT Am-GM ta có:
\(\sqrt{x-a}=\sqrt{\left(x-a\right).1}\le\frac{x-a+1}{2}\)
\(\sqrt{y-b}\le\frac{y-b+1}{2}\)
\(\sqrt{z-c}\le\frac{z-c+1}{2}\)
Do đó \(VT\le\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}x=a+1\\y=b+1\\z=c+1\end{cases}}\)
Vậy pt có nghiệm \(\left(x;y;z\right)=\left(a+1;b+1;c+1\right)\)
TN
1
11 tháng 10 2015
\(\sqrt{x-a}\le\frac{x-a+1}{2}\Rightarrow\sqrt{x-a}+\sqrt{y-b}+\sqrt{z-c}\le\frac{x+y+z-a-b-c+3}{2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi : x=a+1 , y=b+1 , z=c+1.
22 tháng 7 2015
Điều kiện: x \(\ge\) a ; y \(\ge\)b ; z \(\ge\) c và x + y + z \(\ge\) 0
PT <=> \(2\sqrt{x-a}+2\sqrt{y-b}+2\sqrt{z-c}=x +y+z\)
<=> \(x-2\sqrt{x-a}+y-2\sqrt{y-b}+z-2\sqrt{z-c}=0\)
<=> \(\left(x-a-2\sqrt{x-a}+1\right)+\left(y-b-2\sqrt{y-b}+1\right)+\left(z-c-2\sqrt{z-c}+1\right)=0\) (Vì a+ b +c = 3)
<=> \(\left(\sqrt{x-a}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-b}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-c}-1\right)^2=0\)
<=> \(\left(\sqrt{x-a}-1\right)^2=\left(\sqrt{y-b}-1\right)^2=\left(\sqrt{z-c}-1\right)^2=0\)
<=> \(\sqrt{x-a}-1=\sqrt{y-b}-1=\sqrt{z-c}-1=0\)
<=> x - a = 1 ; y - b = 1 ; z - c = 1
<=> x = a+ 1; y = b + 1; z = c+ 1 (Thỏa mãn ĐK)
Vậy....
ML
29 tháng 7 2016
\(pt\Leftrightarrow\left(x-a-2\sqrt{x-a}+1\right)+\left(y-b-2\sqrt{y-b}+1\right)+\left(z-c-\sqrt{z-c}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-a}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-b}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-c}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-a}-1=0\\\sqrt{y-b}-1=0\\\sqrt{z-c}-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=a+1\\y=b+1\\z=c+1\end{cases}}\)
TN
13 tháng 2 2020
1) \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x\\c+a-b=y\\a+b-c=z\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{z+x}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)
BĐT cần cm trở thành:
\(\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\ge3\)
Theo AM-GM, VT>=6/2=3
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
2)\(x^2\left(y+z\right)\ge2x^2\sqrt{yz}=2x^2\sqrt{\frac{1}{x}}=2x\sqrt{x}\)
=>\(P\ge\frac{2x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{2y\sqrt{y}}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{2z\sqrt{z}}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x\sqrt{x}=a\\y\sqrt{y}=b\\z\sqrt{z}=c\end{matrix}\right.\Rightarrow abc=1\)
=>\(P\ge\frac{2a}{b+2c}+\frac{2b}{c+2a}+\frac{2c}{a+2b}\ge2.1=2\)
(Dùng Cauchy-Schwartz chứng minh được:
\(\frac{a}{b+2c}+\frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b}\ge1\))
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 <=> x=y=z=1
Vậy minP=2<=>x=y=z=1
26 tháng 4 2020
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
T
25 tháng 4 2020
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.