Cmr \(\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{a+b}{\sqrt{2}}\text{với mọi}a;b\ge0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
GD
3
TT
1
5 tháng 1 2019
Áp dụng bđt Cô-si ta được
\(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{b}\ge2\sqrt{\sqrt{\frac{a^2}{b}}.\sqrt{b}}=2\sqrt{a}\)
Tương tự \(\sqrt{\frac{b^2}{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{b}\)
Cộng 2 vế của bđt trên lại ta được
\(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}+\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}\)
\(\RightarrowĐpcm\)
Dấu "=" <=> a = b
13 tháng 10 2019
theo BĐT cô - si ta có :
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) \(\left(a\ge0,b\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\)\(a+b+a+b\ge2\sqrt{ab}+a+b\)
\(\Leftrightarrow\)\(2a+2b\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2\left(a+b\right)\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{4}\cdot2\cdot\left(a+b\right)\ge\frac{1}{4}\cdot\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\sqrt{\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{\frac{a+b}{2}}\ge\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\) \(\left(đpcm\right)\)
20 tháng 10 2016
Thắng Nguyễn Phần cuối cùng viết rõ ra một chút :
\(2\sqrt{2}\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)\ge\frac{y^2+z^2-x^2}{x}+\frac{y^2+x^2-z^2}{z}+\frac{x^2+z^2-y^2}{y}\)
\(\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{x}+\frac{y^2}{z}+\frac{x^2}{z}+\frac{x^2}{y}+\frac{z^2}{y}-\sqrt{2015}\ge\frac{\left[2\left(x+y+z\right)\right]^2}{2\left(x+y+z\right)}-\sqrt{2015}=\sqrt{2015}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\sqrt{2015}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2015}{2}}\)
TN
20 tháng 10 2016
Đặt \(\sqrt{a^2+b^2=z};\sqrt{a^2+c^2}=y;\sqrt{b^2+c^2}=x\left(x;y;z>0\right)\)
\(\Rightarrow a^2=\frac{y^2+z^2-x^2}{2};b=\frac{x^2+z^2-y^2}{2};c=\frac{x^2+y^2-z^2}{2}\)
Theo đề \(x+y+z=\sqrt{2015}\)
Ta có:\(b+c\le\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}=\sqrt{2}\cdot x\)\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}\ge\frac{y^2+z^2-x^2}{2\sqrt{2}\cdot x}\)
Tương tự cho 2 cái còn lại rồi, cộng lại:
\(VT\cdot2\sqrt{2}\ge\sqrt{2015}\Rightarrow VT\ge\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2015}{2}}\)
FC
2 tháng 9 2019
1. Ta có:
\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( Nếu a, b ≥ 0)
=> \(a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
=> \(\left(a-2\sqrt{ab}+b\right)+2\sqrt{ab}\ge0+2\sqrt{ab}\)
=> \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) => \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{2}\)
=> \(\frac{\left(a+b\right)}{2}\ge\sqrt{ab}\);
(Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{a}-\sqrt{b}=0\) => a = b)
2 tháng 9 2019
1. BĐT \(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
2. BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge a+2\sqrt{ab}+b\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
3. Ta có: \(M=\frac{2}{\sqrt{1\cdot2005}}+\frac{2}{\sqrt{2\cdot2004}}+...+\frac{2}{\sqrt{1003\cdot1003}}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\sqrt{1\cdot2005}\le\frac{1+2005}{2}=1003\)
Do dấu "=" không xảy ra nên \(\sqrt{1\cdot2005}< 1003\)
Khi đó: \(\frac{2}{\sqrt{1\cdot2005}}>\frac{2}{1003}\)
Chứng minh tương tự với các phân thức còn lại rồi cộng vế ta được :
\(M>\frac{2006}{1003}>\frac{2005}{1003}\) ( đpcm )
6 tháng 8 2015
\( x^3=a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}+a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}+3\sqrt[3]{a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}.\sqrt[3]{a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}}.x\)
=> \(x^3=2a+3\sqrt[3]{\left(a+\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}\right)\left(a-\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}\right)}.x\)
\(x^3=2a+3\sqrt[3]{a^2-\left(\frac{a+1}{3}\sqrt{\frac{8a-1}{3}}\right)^2}.x\)
\(x^3=2a+3\sqrt[3]{\left(\frac{1-2a}{3}\right)^3}.x\)=> \(x^3=2a+\left(1-2a\right).x\)
=> x3 = 2a + x - 2ax => x3 - x + 2ax - 2a = 0
=> x(x2 - 1) + 2a.(x -1) = 0
=> (x -1). (x2 + x + 2a) = 0
=> x - 1 = 0 hoặc x2 + x + 2a = 0
Mà x2 + x + 2a = x2 + 2.x . (1/2) + (1/4) + 2a -(1/4) = (x +1/2)2 + 2. (a - 1/8) > = 0 với mọi a > = 1/8
=> x2 + x + 2a = 0 Vô nghiệm
vậy x = 1 => x thuộc N
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2021
\(VT\ge\dfrac{a^2}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{2\left(a^2+c^2\right)}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)
Đặt \(\left(\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c^2+a^2};\sqrt{a^2+b^2}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=\sqrt{2019}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2=\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2}\\b^2=\dfrac{x^2+z^2-y^2}{2}\\c^2=\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2\sqrt{2}VT\ge\dfrac{y^2+z^2-x^2}{x}+\dfrac{z^2+x^2-y^2}{y}+\dfrac{x^2+y^2-z^2}{z}\)
\(\Rightarrow2\sqrt{2}VT\ge\dfrac{y^2+z^2}{x}+\dfrac{z^2+x^2}{y}+\dfrac{x^2+y^2}{z}-\left(x+y+z\right)\)
\(2\sqrt{2}VT\ge\dfrac{\left(y+z\right)^2}{2x}+\dfrac{\left(z+x\right)^2}{2y}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2z}-\left(x+y+z\right)\)
\(2\sqrt{2}VT\ge\dfrac{4\left(x+y+z\right)^2}{2x+2y+2z}-\left(x+y+z\right)=x+y+z=\sqrt{2019}\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{\sqrt{2019}}{2\sqrt{2}}=\sqrt{\dfrac{2019}{8}}\) (đpcm)
Ta có : \(\sqrt{a^2+b^2}\ge\frac{a+b}{\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)( bình phương 2 vế )
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a^2-2ab-b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra khi : \(a=b\)
Vậy ...