Cho x,y > 0 và x + 2y \(\ge\) 5
Tìm Min H = \(x^2+2y^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{24}{y}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2021
\(P+3=x+\left(y^2+1\right)+\left(z^3+1+1\right)\ge x+2y+3z\)
\(\Rightarrow P\ge x+2y+3z-3\)
\(6=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{2y}+\dfrac{9}{3z}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+2y+3z}\)
\(\Rightarrow x+2y+3z\ge6\Rightarrow P\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
2 tháng 3 2023
`P=x^3/(x+y)+y^3/(y+z)+z^3/(z+x)`
`=x^4/(x^2+xy)+y^4/(y^2+yz)+z^4/(z^2+zx)`
Ad bđt cosi-swart:
`P>=(x^2+y^2+z^2)^2/(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)`
Mà `xy+yz+zx<=x^2+y^2+z^2)`
`=>P>=(x^2+y^2+z^2)^2/(2(x^2+y^2+z^2))=(x^2+y^2+z^2)/2=3/2`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=1`
`Q=(x^3+y^3)/(x+2y)+(y^3+z^3)/(y+2z)+(z^3+x^3)/(z+2x)`
`Q=(x^3/(x+2y)+y^3/(y+2z)+z^3/(z+2x))+(y^3/(x+2y)+z^3/(y+2z)+x^3/(z+2x))`
`Q=(x^4/(x^2+2xy)+y^4/(y^2+2yz)+z^4/(z^2+2zx))+(y^4/(xy+2y^2)+z^4/(yz+2z^4)+x^4/(xz+2x^2))`
Áp dụng BĐT cosi-swart ta có:
`Q>=(x^2+y^2+z^2)^2/(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)+(x^2+y^2+z^2)^2/(2(x^2+y^2+z^2)+xy+yz+zx))`
Mà`xy+yz+zx<=x^2+y^2+z^2`
`=>Q>=(x^2+y^2+z^2)^2/(3(x^2+y^2+z^2))+(x^2+y^2+z^2)^2/(3(x^2+y^2+z^2))=(2(x^2+y^2+z^2)^2)/(3(x^2+y^2+z^2))=(2(x^2+y^2+z^2))/3=2`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=1.`
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 3 2021
\(VT=\dfrac{x^2}{x^2+2xy+3zx}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz+3xy}+\dfrac{z^2}{z^2+2zx+3yz}\)
\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+5xy+5yz+5zx}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)
KB
22 tháng 3 2019
\(H=x^2+2y^2+\frac{1}{x}+\frac{24}{y}=x^2+1+2y^2+8+\frac{1}{x}+\frac{24}{y}-9\)
Vì x ; y > 0 , áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
\(H\ge2x+8y+\frac{1}{x}+\frac{24}{y}-9=x+2y+x+\frac{1}{x}+6\left(y+\frac{4}{y}\right)-9\)
\(\ge5+2+6.4-9=22\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=1;y=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 8 2021
\(VT=\dfrac{2y+3z+5}{1+x}+1+\dfrac{3z+x+5}{2y+1}+1+\dfrac{x+2y+5}{1+3z}+1-3\)
\(VT=\dfrac{x+2y+3z+6}{1+x}+\dfrac{x+2y+3z+6}{1+2y}+\dfrac{x+2y+3z+6}{1+3z}-3\)
\(VT=24\left(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1}{1+2y}+\dfrac{1}{1+3z}\right)-3\ge\dfrac{24.9}{1+x+1+2y+1+3z}-3=\dfrac{216}{21}-3=\dfrac{51}{7}\)
Áp dụng bđt \(a^2+b^2\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
\(x^2+2y^2\ge\dfrac{\left(x+2y\right)^2}{2}=\dfrac{25}{2}\)
Ta có:
\(x+2y\ge2\sqrt{x2y}\)
\(\Leftrightarrow5\ge2\sqrt{2xy}\)
\(\Rightarrow25\ge4.2xy\Rightarrow xy\le\dfrac{25}{8}\)
Áp dụng bđt Cosi
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{24}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{24}{xy}}\ge2\sqrt{\dfrac{24}{\dfrac{25}{8}}}=2\sqrt{\dfrac{24.8}{25}}=\dfrac{16}{5}\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow H\ge\dfrac{16}{5}\sqrt{3}+\dfrac{25}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=2y\\x+2y=5\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{2}\\y=\dfrac{5}{4}\end{matrix}\right.\)
ta có : \(H=x^2+2y^2+\dfrac{1}{x}+\dfrac{24}{y}=x^2+\dfrac{1}{x}+2y^2+\dfrac{24}{y}\)
\(\Rightarrow H\ge2\sqrt{x}+2\sqrt{48y}\) dấu "=" xảy ra khi \(x=1;y=2\)
thế lại ta có : \(H_{min}=2+8\sqrt{6}\)
vậy ....................................................................................................................