C/m bất đẳng thức sau
\(\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\le2\left(a^4+b^4\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
G
1
18 tháng 2 2023
\(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2\left(a^2+b^2\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2\le0\)
\(\Leftrightarrow-a^2+2ab-b^2\le0\)
\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2\le0\) ( dấu "=" xảy ra ⇔ a=b )
TN
28 tháng 2 2020
a)đpcm<=>(a2+3)2>4(a2+2)<=>(a2+1)2>0(lđ)
b)đpcm<=>\(a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)
Theo AM-GM\(\left\{{}\begin{matrix}a^4+b^4+b^4+b^4\ge4a^3b\\b^4+a^4+a^4+a^4\ge4b^3a\end{matrix}\right.\)
=>đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a=b
c)AM-GM:\(VT\ge256\left|abcd\right|\ge256abcd\)
Dấu bằng xảy ra khi hai số bằng 2, hai số còn lại bằng -2 hoặc cả 4 số bằng 2 hoặc cả 4 số bằng -2
BC
2
10 tháng 3 2021
Biến đổi \(4\left(a^3+b^3\right)-\left(a+b\right)^3=3a^3-3a^2b-3ab^2+3b^3=3a^2\left(a-b\right)-3b^2\left(a-b\right)=\left(3a^2-3b^2\right)\left(a-b\right)=3\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b>0\).
Từ đó ta có \(4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)
14 tháng 1 2018
Làm thông thường thoy; khai triển ra xog chuyển vế
\(\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^3+b^3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6\ge a^6+2a^3b^3+b^6\)
\(\Leftrightarrow a^2b^4+a^4b^2\ge2a^3b^3\)
\(\Leftrightarrow a^2b^4+a^4b^2-2a^3b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a;b\in R\))
Vậy bđt đã đc chứng minh
DL
2 tháng 10 2019
Áp dụng bất đẳng thức \(4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\) với x, y > 0, ta được:
\(4a^3+4b^3\ge\left(a+b\right)^3\); \(4b^3+4c^3\ge\left(b+c\right)^3\) ; \(4c^3+4a^3\ge\left(c+a\right)^3\).
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:
\(4a^3+4b^3+4a^3+4b^3+4c^3+4c^3\ge\left(a+b\right)^3+\left(c+b\right)^3+\left(a+c\right)^3\)
\(\Rightarrow8\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b\right)^3+\left(c+b\right)^3+\left(a+c\right)^3\)
=> đpcm.
15 tháng 1 2021
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(a^{10}b^2+b^{10}a^2\ge a^8b^4+b^8a^4\)
\(\Leftrightarrow a^8+b^8\ge a^6b^2+b^6a^2\) (Do \(a^2b^2\ge0\))
\(\Leftrightarrow\left(a^6-b^6\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\ge0\) (luôn đúng).
Vậy ta có đpcm.
N
15 tháng 8 2020
bất đẳng thức trên tương đương: \(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2\ge6abc\)
Theo Cô-si: \(VT\ge6\sqrt[6]{\left(a^2b\right).\left(ab^2\right).\left(b^2c\right).\left(bc^2\right).\left(c^2a\right).\left(ca^2\right)}=6abc\)
Dấu "=' xảy ra khi a=b=c
15 tháng 8 2020
\(VT=\frac{b^2c^2}{bc\left(a^2+ab+bc+ca\right)}+\frac{c^2a^2}{ca\left(b^2+ab+bc+ca\right)}+\frac{a^2b^2}{ab\left(c^2+ab+bc+ca\right)}\)
ÁP DỤNG BĐT CAUCHY - SCHWARZ TA ĐƯỢC:
=> \(VT\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3abc\left(a+b+c\right)}\)
TA SẼ CHỨNG MINH: \(\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+3abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{3}{4}\)
<=> \(4\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+9abc\left(a+b+c\right)\)
<=> \(4\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+8abc\left(a+b+c\right)\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)+9abc\left(a+b+c\right)\)
<=. \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge abc\left(a+b+c\right)\)
MÀ ĐÂY LẠI LÀ 1 BĐT LUÔN ĐÚNG !!!!!
=> VẬY TA CÓ ĐPCM.
DẤU "=" XẢY RA <=> \(a=b=c\)
\(\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\le2\left(a^4+b^4\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+a^3b+ab^3+b^4\le2a^4+2b^4\)
\(\Leftrightarrow a^3b-a^4+ab^3-b^4\le0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(b-a\right)+b^3\left(a-b\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b^3-a^3\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow-\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\le0\) (luôn đúng)
Vậy...
a + b a + b ≤ 2 a + b
⇔a + a b + ab + b ≤ 2a + 2b
⇔a b − a + ab − b ≤ 0
⇔a b − a + b a − b ≤ 0
⇔ a − b b − a ≤ 0
⇔− a − b a + ab + b ≤ 0
tự kết luận