Question

[Ngân Beauty]

Tìm đạo hàm y' với y=\(\sqrt{X+\sqrt{1+x^2}}\). Mong mn giải chi tiết xíu để em có thể hiểu rõ hơn ạ

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Em không rõ ở phần tìm đạo hàm theo định nghĩa (lim) hay tìm đạo hàm dựa theo công thức

Thông thường lớp 11 thì thường áp dụng luôn công thức

Áp dụng công thức: \((u^{\alpha})'=\alpha.u'.u^{\alpha-1}\) thì:

\(y=(x+\sqrt{1+x^2})^{\frac{1}{2}}\)

\(\Rightarrow y'=\frac{1}{2}(x+\sqrt{x^2+1})'(x+\sqrt{x^2+1})^{\frac{1}{2}-1}\)

\(=\frac{(x+\sqrt{x^2+1})'}{2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}(*)\)

\((x+\sqrt{x^2+1})'=x'+(\sqrt{x^2+1})'=1+((x^2+1)^{\frac{1}{2}})'\)

\(=1+\frac{1}{2}(x^2+1)'(x^2+1)^{\frac{1}{2}-1}\)

\(=1+\frac{1}{2}.2x.\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}(**)\)

Từ \((*);(**)\Rightarrow y'=\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}.2\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{x^2+1}}\)

Answer 2

[Mysterious Person]

ta có : \(y'=\left(\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}\right)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)'\)

\(=\dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}}\left(1+\dfrac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\left(1+x^2\right)'\right)\) \(=\dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}}\left(1+\dfrac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}\right)\) \(=\dfrac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}}\left(\dfrac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}\right)=\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{x+\sqrt{1+x^2}}{1+x^2}}\)