Cho 1/1+a. +1/1+b +1/1+c>=2 CM abc<=1/8 [ cho a,B,c >0]
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 3 2021
\(\dfrac{1}{a^2+a+1}\ge\dfrac{1}{a^2+\dfrac{a^2+1}{2}+1}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{a^2+1}=\dfrac{2}{3}\left(1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\right)\ge\dfrac{2}{3}\left(1-\dfrac{a}{2}\right)\)
Tương tự và cộng lại: \(VT\ge\dfrac{2}{3}\left(3-\dfrac{a+b+c}{2}\right)=\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
6 tháng 9 2017
Ta có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{bc+ac+ab}{abc}=0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\) (*)
Lại có: \(a+b+c=1\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=1^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1\)
Kết hợp với (*) \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=1\)(đpcm)
PT
6 tháng 9 2017
Ta có: \(a+b+c=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2.\left(ab+bc+ca\right)=1\left(1\right)\)
Lại có: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=0\)
\(\Rightarrow2.\left(ab+bc+ca\right)=0\left(2\right)\) ( Nhân 2 vế cho 2abc khác 0 )
Lấy \(\left(1\right)\) trừ \(\left(2\right)\) vế theo vế ta được \(a^2+b^2+c^2=1\)
\(\Rightarrow\) Đpcm.
TM
1
NT
2
10 tháng 3 2021
* Áp dụng BĐT \(\dfrac{4}{x+y}\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) với $x,y>0$ vào bài toán có :
\(\dfrac{1}{4}\cdot\left(\dfrac{4}{a+b}\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\)
\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{4}{b+c}\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{4}{c+a}\right)\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)\)
Cộng vế với vế các BĐT có :
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
LQ
1
2 tháng 12 2021
\(\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\\ \Rightarrow\dfrac{1}{c}=\dfrac{a+b}{2ab}\\ \Rightarrow ac+bc=2ab\)
Giả sử \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a-c}{c-b}\Rightarrow ac-ab=ab-bc\Rightarrow ac+bc=2ab\left(\text{luôn đúng}\right)\)
Vậy \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a-c}{c-b}\)