Question

[Hà Ngân Hà]

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Vẽ đường kính AD, tiếp tuyến với đường tròn (O;R) tại D cắt BC tại E. Vẽ OH vuông góc với BC.

a/ Chứng minh tứ giác OHDE nội tiếp

b/ Chứng minh \(ED^2=EC.EB\)

c/ Từ C vẽ đường thẳng song song với EO cắt AD tại I. Chứng minh HI song song với AB

d/ Qua D vẽ đường thẳng song song với EO cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh DM=DN

Answer 1

[Tùng Trần Sơn]

Answer 2

[Tùng Trần Sơn]

a) có \(\widehat{HOG}+\widehat{OGH}=90^o\) (do OH \(\perp\) BC)

mà \(\widehat{GED}+\widehat{EGD}=90^o\) (do tiếp tuyến tại D)

lại có \(\widehat{OGH}=\widehat{EGD}\) (đối đỉnh)

\(\rightarrow\widehat{GOH}=\widehat{GED}\) mà hai góc này cùng nhìn cung HD

\(\Rightarrow\) Tứ giác OHDE nội tiếp (đpcm)

b) Nối BD, CD

có \(\widehat{CBD}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{CD}\) (góc nội tiếp chắn cung CD)

có \(\widehat{CDE}=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{CD}\) (góc giữa tiếp tuyến và một dây)

\(\rightarrow\widehat{CBD}=\widehat{CDE}\)

mà có \(\widehat{CED}\) chung

\(\Rightarrow\Delta EBD\) ~ \(\Delta EDC\) (g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{ED}{EC}=\dfrac{EB}{ED}\rightarrow ED^2=EC.EB\) (đpcm)

c) CI // OE \(\Rightarrow\widehat{GCI}=\widehat{GEO}\) (so le trong) (1)

có tứ giác OHDE nội tiếp (câu a)

\(\Rightarrow\widehat{OEG}=\widehat{ODH}\) (cùng chắn cung OH) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{ICG}=\widehat{IDH}\)

Mà hai góc này cùng chắn cung IH

Suy ra tứ giác IHDC nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{DIH}=\widehat{BCD}\) (cùng chắn cung HD)

Dễ thấy tứ giác ABDC nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\) (cùng chắn cung BD)

\(\Rightarrow\widehat{DIH}=\widehat{BAD}\)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong suy ra HI // AB (đpcm)

Câu d) tạm thời mình chưa nghĩ được nha!
Chúc bạn học tốt