Question

[Kookie BTS]

1. Chứng minh các BĐT sau

a) \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

b) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

c) \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

d) \(a^4+b^4\ge2,\) biết rằng \(a+b=2.\)

@Hung nguyen , @Nguyễn Huy Tú , @Đinh Đức Hùng , @Lightning Farron , @ Mashiro Shiina , @Võ Đông Anh Tuấn , @soyeon_Tiểubàng giải, @Nguyễn Thanh Hằng

Cảm ơn các bác nhiều ạ

Answer 1

[Phùng Khánh Linh]

a) Áp dụng BĐT Cô - si , ta có :

x² + y² ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0 )

⇒ a² + b² ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0)

⇔ \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\) ≥ 2

⇔ \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ 2

b) Áp dụng BĐT Cô - si :

x + y ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{xy}}\) ( x > 0 ; y > 0 )

⇒ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) ≥ 2.\(\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\) ( a > 0 ; b > 0)

⇔ ( a + b)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) ≥ 2.\(\sqrt{\dfrac{1}{ab}}\).\(2\sqrt{ab}\)

⇔( a + b)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) ≥ 4

⇔ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\) ≥ \(\dfrac{4}{a+b}\)

Answer 2

[Phùng Khánh Linh]

c) Áp dụng BĐT Cô - si , ta có :

x² + y² ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0 )

⇒ a² + b² ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0 )

⇔ 2a² + 2b² ≥ a² + 2ab + b²

⇔ 2( a² + b² ) ≥ ( a + b)²