K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LT
0
OI
0
14 tháng 10 2022
1: \(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}>=\dfrac{4}{x+y}\)
=>(x+y)^2>=4xy
=>(x-y)^2>=0(luôn đúng)
2: \(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-ab^2>=0\)
=>a^2(a-b)-b^2(a-b)>=0
=>(a-b)^2(a+b)>=0(luôn đúng)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 8 2020
1.
\(\left(1+a\right)^2=\left(1.1+\sqrt{\frac{a}{b}}.\sqrt{ab}\right)^2\le\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+ab\right)=\frac{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)^2}\ge\frac{b}{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}\)
\(\left(1+b\right)^2\le\frac{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}{a}\Rightarrow\frac{1}{\left(1+b\right)^2}\ge\frac{a}{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)^2}+\frac{1}{\left(1+b\right)^2}\ge\frac{a}{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}+\frac{b}{\left(a+b\right)\left(1+ab\right)}=\frac{1}{1+ab}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)
2.
\(P=\sqrt{\frac{a^2}{a^4+3}}+\sqrt{\frac{b^2}{b^4+3}}\le\sqrt{2\left(\frac{a^2}{a^4+3}+\frac{b^2}{b^4+3}\right)}\)
Đặt \(\left(a^2;b^2\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow xy=1\)
\(Q=\frac{x}{x^2+3}+\frac{y}{y^2+3}=\frac{x}{x^2+3}+\frac{x}{3x^2+1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\)
\(Q=\frac{-\left(x-1\right)^2\left(3x^2-2x+3\right)}{2\left(x^2+3\right)\left(3x^2+1\right)}+\frac{1}{2}\le\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{2Q}\le1\)
\(P_{max}=1\) khi \(a=b=1\)
N
26 tháng 12 2019
De dung la:
\(\Sigma_{cyc}\frac{1}{1+a^2+b^2}\le\frac{9}{5}\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{a^2+b^2}{1+a^2+b^2}\ge\frac{6}{5}\)
\(VT\ge\frac{\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{a^2+b^2}\right)^2}{2\Sigma_{cyc}a^2+3}\left(M\right)\)
Consider:
\(VT_M\ge\frac{6}{5}\)
\(5\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\Sigma_{cyc}a^2+9\)
Consider:
\(5\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge5\Sigma_{cyc}a^2+5\Sigma_{cyc}ab=5\Sigma_{cyc}a^2+5\)
Gio can cung minh:
\(5\Sigma_{cyc}a^2+5\ge\Sigma_{cyc}a^2+9\)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}a^2\ge1\)
Ta lai co:
\(\Sigma_{cyc}a^2\ge\Sigma_{cyc}ab=1\)
Dau '=' xay ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
HT
0
ML
8 tháng 8 2016
B2: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=4\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=2\\a+b+c=-2\end{cases}}\)
TH1: \(a+b+c=2\Rightarrow c=2-\left(a+b\right)\)
\(a^2+b^2+c^2=2\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+\left(2-a-b\right)^2=2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+ab-2\left(a+b\right)+1=0\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(b-2\right)a+b^2-2b+1=0\)
Xem đây là một phương trình bậc hai ẩn a, tham số b.
Để tồn tại a thỏa phương trình trên thì \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-2\right)^2-4\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow b\left(3b-4\right)\le0\)\(\Leftrightarrow0\le b\le\frac{4}{3}\)
Do vai trò của a, b, c là như nhau nên \(0\le a,b,c\le\frac{4}{3}\)
(hoặc đổi biến thành b và tham số a --> CM được a, rồi thay \(b=2-c-a\) sẽ chứng minh được c)
TH2: \(a+b+c=-2\) --> tương tự trường hợp 1 nhưng kết quả sẽ là
\(-\frac{4}{3}\le a,b,c\le0\)
Kết hợp 2 trường hợp lại, ta có đpcm.
PA
1
9 tháng 11 2017
Xét \(\sqrt{a^2-ab+b^2}\) = \(\sqrt{\left(a^2+2ab+b^2\right)-3ab}\) = \(\sqrt{\left(a+b\right)^2-3ab}\)
>= \(\sqrt{\left(a+b\right)^2-\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2}\)( bđt ab <= (a+b)^2/4) = 1/2 (a+b)
Tương tự căn (b^2-bc+c^2) >= 1/2(b+c) ; (c^2-ca+a^2) >= 1/2 (c+a)
=> B >= 1/2 . (a+b+b+c+c+a) = 1/2 . 2 . (a+b+c) = 1 => ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1/3