Question

[Hoàng Phương Thanh]

Cho (O;R) từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến AB và AC . Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường tròn tại D. Nối AD cắt đường tròn tại ddiểm thứ hai là K. nối BK cắt AC tại I. CMR

a, tứ giác ABOC nội tiếp

b, IC² = IK.IB

c, cho BAC = 60 độ .chứng minh ba điểm A O D thẳng hàng

Answer 1

[Șáṭ Ṯḩầɳ]

O B C D A K I

a) Xét tứ giác ABOC. ta có :

\(\widehat{B}=\widehat{C}=90^o\) ( tính chất tiếp tuyến )

=> \(\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\) mà 2 góc này ở vị trí đối nhau => tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn

b) xét tam giác CIK và tam giác BIC. ta có :

\(\widehat{I}\) chung

\(\widehat{IBC}=\widehat{KCI}\) ( gói tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung = góc nội tiếp chắn cùng cung đó )

=> tam giác CIK đồng dạng vs tam giác BIC.

=> \(\dfrac{IC}{IB}=\dfrac{IK}{IC}\) => IC² = IB.IK

c) Vì AC // BD => góc ABD = 180 - 60 = 120^o ( góc trong cùng phía )

góc OBD = 120 - 90 = 30^o

mà tam giác BOD cân ở O ( OB = OD = R )

=> góc BOD = 180^o - 30^o - 30^o = 120^o

áp dụng tính chất tiếp tuyến cắt nhau => góc BAO = góc CAO = 30^o

=> góc BOA = 90 - 30 = 60^o

nhận thấy \(\widehat{BOA}+\widehat{BOD}=60^o+120^o=180^o\) mà 2 góc ở vị trí kề nhau => A,O,D thẳng hàng