Giúp mình với mình đang cần gấp !
CM bất đẳng thức sau : \(2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}< \dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 1 2022
Các n thỏa mãn\(\hept{\begin{cases}n\inℤ\\n>1\end{cases}}\)
bởi \(A=\frac{2\sqrt{n-1}}{\sqrt{n-1}}=2\)không phụ thuộc vào giá trị của biến nên chỉ cần điều kiện xác định của phân thức và căn bậc hai thôi.
LP
28 tháng 7 2016
a)= \(\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2}+...+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{100-99}\)
=\(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)
= \(-1+\sqrt{100}\)
= -1 +10
=9
28 tháng 7 2016
b)Ta có\(\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\cdot\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\)=n+1-n=1 (1)
Lại có:\(\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}\cdot\left(\sqrt{n+1}+1\right)=1\)(2)
Từ (1) và (2)=>\(\left(\sqrt{n+1}-1\right)=\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}\)
TG
25 tháng 7 2019
\(\frac{1}{2\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}}< \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
=> \(\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)(1)
\(\frac{1}{2\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)=> \(\frac{1}{2\sqrt{n}}>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)(2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \sqrt{n+1}-\sqrt{n}< \frac{1}{2\sqrt{n}}\)
3 tháng 8 2018
Ta có : \(\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
\(=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}\)
\(=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{1}\)
\(=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh .
Áp dụng :
\(\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+....+\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)
\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+.....+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)
\(=-1+\sqrt{100}\)
\(=-1+10=9\)
6 tháng 9 2018
em học lớp 7 nên không biết anh cho em đúng đi rồi em nhờ anh em lớp 12 giải cho
24 tháng 5 2018
bai 1
(n+1)√n=√n^3+√n>2√(n^3.n)=2n^2>2(n^2-1)=2(n-1)(n+1)
1/[(n+1)√n]<1/[2(n-1)(n+1)]=1/4.[2/(n-1)(n+1)]
A=..
n =1 yes
n>1
A<1+1/4[2/1.3+2/3.5+..+2/(n-1)(n+1)
A<1+1/4[ 2-1/(n+1)]<1+1/2<2=>dpcm
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
7 tháng 7 2021
\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
\(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>2\sqrt{n}\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \frac{1}{2\sqrt{n}}\)
\(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}< 2\sqrt{n+1}\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}>\frac{1}{2\sqrt{n+1}}\)
Do đó ta có đpcm.
\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\\ \Leftrightarrow2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(1\right)\\ \sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\dfrac{\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\\ \Leftrightarrow2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)>\dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\RightarrowĐfcm\)