K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

26 tháng 1 2021

 +  +  ≥ 3.

Đặt b + c – a = x > 0 (1); a + c – b = y > 0  (2); a + b – c = z > 0  (3)

Cộng (1) và (2) => b + c – a + a + c – b = x + y ⇔ 2c = x + y ⇔ c = 

Tương tự a =  ; b = 

Do đó  +  +  =  +   +  = ( +  +  +  +  + )

[( + ) + ( + ) + ( + )] ≥ (2 + 2 + 2) = 3.

Vậy  +  +  ≥ 3.

26 tháng 1 2021

tham khảo ạ

Tham khảo 

undefined

20 tháng 3 2021

bạn trình bày rõ bđt 1/x + 1/y >_ 4/x+y dc ko vì mình ko hiểu lắm

 

AH
Akai Haruma
Giáo viên
24 tháng 10 2018

Lời giải:

Đặt \((b+c-a, c+a-b, a+b-c)=(x,y,z)\Rightarrow (a,b,c)=(\frac{y+z}{2}; \frac{x+z}{2}; \frac{x+y}{2})\)

Tất nhiên $x,y,z>0$ vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác.

Khi đó, áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}\)

\(\geq 3\sqrt[3]{\frac{(y+z)(x+z)(x+y)}{8xyz}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}.2\sqrt{xy}}{8xyz}}=3\)

Ta có đpcm

b) Vẫn cách đặt giống phần a. Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\frac{a}{a+b-c}+\frac{b}{b+c-a}+\frac{c}{c+a-b}=\frac{y+z}{2z}+\frac{x+z}{2x}+\frac{x+y}{2y}=\frac{y}{2z}+\frac{z}{2x}+\frac{x}{2y}+\frac{3}{2}\)

\(\geq 3\sqrt[3]{\frac{y}{2z}.\frac{z}{2x}.\frac{x}{2y}}+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3\)

Ta có đpcm.

NV
12 tháng 1 2022

\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}\ge\dfrac{4}{a+b-c+b+c-a}=\dfrac{2}{b}\)

Tương tự:

\(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{2}{a}\) ; \(\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{2}{c}\)

Cộng vế:

\(2\left(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\right)\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

24 tháng 3 2023

cho em hỏi tại sao 1/a+b-c +1/b+c-a>=4/a+b-c+b+c-a vậy ạ

 

1 tháng 7 2017

surf trc khi hỏi Câu hỏi của Duong Thi Nhuong TH Hoa Trach - Phong GD va DT Bo Trach - Toán lớp 8 | Học trực tuyến

1 tháng 7 2017

Giải:

Ta có BĐT phụ: \(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz ta có:

\(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}}\ge3\) (Đpcm)


12 tháng 5 2022

-Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}b+c-a=x>0\\c+a-b=y>0\\a+b-c=z>0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2c=x+y\\2a=y+z\\2b=z+x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\dfrac{x+y}{2}\\a=\dfrac{y+z}{2}\\b=\dfrac{z+x}{2}\end{matrix}\right.\)

\(A=\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{c+a-b}+\dfrac{c}{a+b-c}=\dfrac{\dfrac{y+z}{2}}{x}+\dfrac{\dfrac{z+x}{2}}{y}+\dfrac{\dfrac{x+y}{2}}{z}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}+\dfrac{x+y}{z}\right)=\dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}\right)+\left(\dfrac{z}{y}+\dfrac{y}{z}\right)+\left(\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\right]\ge\dfrac{1}{2}.\left(2+2+2\right)=3\left(đpcm\right)\)

-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 1 2021

Lời giải:

Do $a,b,c>0$ nên:\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1(1)\)

Vì $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác nên theo BĐT tam giác thì:

$a+b>c\Rightarrow 2(a+b)>a+b+c\Rightarrow a+b>\frac{a+b+c}{2}$

$\Rightarrow \frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}$. Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại:

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2(2)\)

Từ $(1);(2)$ ta có đpcm.